Номер 40, страница 12 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Выражения с переменными. Параграф 1. Выражения. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 40, страница 12.

Условие.

40. Какое из данных выражений имеет смысл при любых значениях a?

1. $\frac{12}{a - 9}$

2. $\frac{5}{a + 4}$

3. $\frac{14}{a^2}$

4. $\frac{8}{a^2 + 1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, какое из выражений имеет смысл при любых значениях переменной a, нужно найти область определения каждого из них. Дробное выражение имеет смысл (определено) тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1. Выражение $\frac{12}{a-9}$.

Знаменатель этой дроби равен $a-9$. Выражение не будет иметь смысла, если знаменатель равен нулю.

$a - 9 = 0$

$a = 9$

При $a=9$ выражение не имеет смысла, поэтому оно определено не для всех значений a.

2. Выражение $\frac{5}{a+4}$.

Знаменатель этой дроби равен $a+4$. Найдем значение a, при котором он равен нулю.

$a + 4 = 0$

$a = -4$

При $a=-4$ выражение не имеет смысла. Следовательно, оно определено не для всех значений a.

3. Выражение $\frac{14}{a^2}$.

Знаменатель этой дроби равен $a^2$. Найдем значение a, при котором он равен нулю.

$a^2 = 0$

$a = 0$

При $a=0$ выражение не имеет смысла. Следовательно, оно определено не для всех значений a.

4. Выражение $\frac{8}{a^2+1}$.

Знаменатель этой дроби равен $a^2+1$. Проверим, может ли он равняться нулю.

$a^2+1 = 0$

$a^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа a всегда является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$. Поэтому сумма $a^2+1$ всегда будет больше или равна 1 ($a^2+1 \ge 1$). Это означает, что знаменатель $a^2+1$ никогда не может быть равен нулю ни при каких значениях a.

Таким образом, это выражение имеет смысл при любых значениях a.

Ответ: 4