Номер 43, страница 12 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Выражения с переменными. Параграф 1. Выражения. Глава 1. Выражения, тождества, уравнения - номер 43, страница 12.

Условие.

43. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6.

1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.

2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.

3) Проведите доказательство.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка.

Утверждение: всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6.

Проверка для третьего десятка (числа от 21 до 30):

Простые числа в этом диапазоне: 23, 29.

• Для числа 23:
  • $23 - 1 = 22$. 22 не делится на 6.
  • $23 + 1 = 24$. $24 : 6 = 4$. 24 делится на 6.
• Для числа 29:
  • $29 - 1 = 28$. 28 не делится на 6.
  • $29 + 1 = 30$. $30 : 6 = 5$. 30 делится на 6.

Для простых чисел из третьего десятка утверждение выполняется.

Проверка для седьмого десятка (числа от 61 до 70):

Простые числа в этом диапазоне: 61, 67.

• Для числа 61:
  • $61 - 1 = 60$. $60 : 6 = 10$. 60 делится на 6.
  • $61 + 1 = 62$. 62 не делится на 6.
• Для числа 67:
  • $67 - 1 = 66$. $66 : 6 = 11$. 66 делится на 6.
  • $67 + 1 = 68$. 68 не делится на 6.

Для простых чисел из седьмого десятка утверждение также выполняется.

Ответ: На приведенных примерах утверждение справедливо. Для простых чисел 23 и 29 число, увеличенное на 1, делится на 6. Для простых чисел 61 и 67 число, уменьшенное на 1, делится на 6.

2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства.

Справедливость этого свойства следует из двух ключевых фактов, касающихся делимости.

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3.

Пусть $p$ — простое число, большее или равное 5.

1. Делимость на 2: Любое простое число $p$, начиная с 5, является нечетным. Если к нечетному числу прибавить или отнять 1, результат всегда будет четным числом. Следовательно, и $p-1$, и $p+1$ всегда делятся на 2.
2. Делимость на 3: Рассмотрим тройку последовательных целых чисел: $p-1, p, p+1$. Среди любых трех последовательных целых чисел одно и только одно обязательно делится на 3. Поскольку $p$ — простое число и $p \ge 5$, оно не может делиться на 3 (единственное простое число, делящееся на 3, это само число 3). Значит, на 3 должно делиться либо число $p-1$, либо число $p+1$.

Объединяя эти два факта, мы получаем, что одно из чисел ($p-1$ или $p+1$) делится на 3, и при этом оба они делятся на 2. То число, которое делится и на 2, и на 3, будет делиться и на 6.

Ответ: Свойство следует из того, что для любого простого числа $p \ge 5$, числа $p-1$ и $p+1$ являются четными, и одно из них обязательно делится на 3.

3) Проведите доказательство.

Пусть $p$ — произвольное простое число, такое что $p \ge 5$. Требуется доказать, что либо $(p-1)$, либо $(p+1)$ делится на 6 без остатка.

Любое натуральное число $n$ при делении на 6 может давать один из шести возможных остатков: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Таким образом, любое натуральное число можно представить в одной из следующих форм, где $k$ — целое неотрицательное число:

• $6k$
• $6k+1$
• $6k+2$
• $6k+3$
• $6k+4$
• $6k+5$

Рассмотрим, какую из этих форм может иметь простое число $p \ge 5$.

• Числа вида $6k$, $6k+2 = 2(3k+1)$ и $6k+4 = 2(3k+2)$ являются четными. Единственное четное простое число — это 2. Так как мы рассматриваем $p \ge 5$, эти случаи невозможны.
• Числа вида $6k+3 = 3(2k+1)$ делятся на 3. Единственное простое число, делящееся на 3, — это 3. Так как мы рассматриваем $p \ge 5$, этот случай также невозможен.

Следовательно, любое простое число $p \ge 5$ должно иметь вид либо $6k+1$, либо $6k+5$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $p = 6k+1$, то $p-1 = (6k+1) - 1 = 6k$. Число $6k$ очевидно делится на 6.
2. Если $p = 6k+5$, то $p+1 = (6k+5) + 1 = 6k+6 = 6(k+1)$. Число $6(k+1)$ также очевидно делится на 6.

Таким образом, для любого простого числа $p \ge 5$ одно из чисел — $p-1$ или $p+1$ — всегда делится на 6. Доказательство завершено.

Ответ: Доказано, что любое простое число $p \ge 5$ имеет вид $6k+1$ или $6k+5$. В первом случае $p-1$ делится на 6, во втором — $p+1$ делится на 6.