Номер 397, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Определение степени с натуральным показателем. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 397, страница 98.

Условие.

397. (Для работы в парах.) Даны выражения:

$a^2 + 1$, $-a^4$, $3 + (5 - a)^2$, $-a - a^3$, $-a^2 + 8$, $3a + 4$, $a^4 + a^2 + 8$, $-a^6 - 4a^8 - 1$, $-7a - 4$, $-a^8 - 9$.

Какие из этих выражений принимают:

а) только положительные значения;

б) только отрицательные значения?

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнено задание.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Проанализируем каждое из данных выражений, чтобы определить, какие из них принимают значения строго одного знака при любых значениях переменной a.

а) только положительные значения

Выражение принимает только положительные значения, если оно строго больше нуля ($>0$) при любом значении a. Проверим выражения, удовлетворяющие этому условию.

Выражение $a^2 + 1$. Квадрат любого действительного числа $a^2$ является неотрицательным, то есть $a^2 \ge 0$. Следовательно, сумма $a^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$. Так как значение выражения всегда больше или равно 1, оно всегда положительно.

Выражение $3 + (5 - a)^2$. Скобка в квадрате $(5 - a)^2$ всегда неотрицательна: $(5 - a)^2 \ge 0$. Поэтому всё выражение $3 + (5 - a)^2 \ge 3 + 0 = 3$. Так как значение выражения всегда больше или равно 3, оно всегда положительно.

Выражение $a^4 + a^2 + 8$. Степени с четным показателем $a^4$ и $a^2$ неотрицательны, поэтому $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна: $a^4 + a^2 \ge 0$. Следовательно, значение всего выражения $a^4 + a^2 + 8 \ge 0 + 8 = 8$, то есть оно всегда положительно.

Остальные выражения не подходят, так как могут принимать отрицательные значения или значение 0. Например: при $a=1$, $3a+4=7$, а при $a=-2$, $3a+4=-2$; выражение $-a^4$ равно 0 при $a=0$.

Ответ: $a^2 + 1$, $3 + (5 - a)^2$, $a^4 + a^2 + 8$.

б) только отрицательные значения

Выражение принимает только отрицательные значения, если оно строго меньше нуля ($<0$) при любом значении a. Проверим выражения, удовлетворяющие этому условию.

Выражение $-a^6 - 4a^8 - 1$. Вынесем знак минус за скобки: $-(a^6 + 4a^8 + 1)$. Внутри скобок все слагаемые, содержащие переменную, имеют четные степени, поэтому $a^6 \ge 0$ и $4a^8 \ge 0$. Тогда сумма в скобках $a^6 + 4a^8 + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$. Поскольку выражение в скобках всегда положительно (не меньше 1), то исходное выражение, имея знак минус впереди, всегда будет отрицательным (не больше -1).

Выражение $-a^8 - 9$. Степень $a^8$ всегда неотрицательна: $a^8 \ge 0$. Тогда $-a^8 \le 0$. Следовательно, всё выражение $-a^8 - 9 \le 0 - 9 = -9$. Так как значение выражения всегда меньше или равно -9, оно всегда отрицательно.

Остальные выражения не подходят, так как могут принимать положительные значения или значение 0. Например: при $a=0$, $-a^2+8=8$; выражение $-a-a^3$ равно $10$ при $a=-2$.

Ответ: $-a^6 - 4a^8 - 1$, $-a^8 - 9$.