Номер 394, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Определение степени с натуральным показателем. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 394, страница 98.

Условие.

394. (Задача-исследование.) Найдите всевозможные значения $a$, где $a$ — натуральное число, при которых число 90 является наименьшим общим кратным чисел 15 и $a$.

1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.

2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа $a$.

3) Сделайте вывод о значениях числа $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.

Чтобы разложить число на простые множители, нужно последовательно делить его на простые числа (2, 3, 5, 7 и т.д.), пока в результате не получится 1.

Разложение числа 90:

$90 | 2$

$45 | 3$

$15 | 3$

$5 | 5$

$1$

Таким образом, разложение числа 90 на простые множители: $90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Разложение числа 15:

$15 | 3$

$5 | 5$

$1$

Таким образом, разложение числа 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$.

Ответ: $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$; $15 = 3 \cdot 5$.

2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа a.

По определению, наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел. Чтобы найти НОК через разложение на простые множители, нужно выписать все простые множители, входящие хотя бы в одно из разложений, и взять каждый из них с наибольшим показателем степени, с которым он встречается в разложениях.

Нам дано, что НОК(15, a) = 90. Запишем известные разложения:

НОК(15, a) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1$

$15 = 3^1 \cdot 5^1$ (или $2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1$)

Пусть разложение числа $a$ на простые множители имеет вид $a = 2^x \cdot 3^y \cdot 5^z \cdot \dots$, где $x, y, z$ — целые неотрицательные числа.

Сравним показатели степеней для каждого простого множителя:

• Множитель 2: В разложении НОК есть $2^1$. В разложении числа 15 множителя 2 нет (или он в степени 0). Чтобы в НОК появился множитель $2^1$, он должен присутствовать в разложении числа $a$ именно в первой степени. Значит, $x=1$.

• Множитель 3: В разложении НОК есть $3^2$. В разложении числа 15 есть $3^1$. Чтобы в НОК появился множитель $3^2$ (т.е. с наибольшим показателем 2), он должен присутствовать в разложении числа $a$ именно во второй степени. Значит, $y=2$.

• Множитель 5: В разложении НОК есть $5^1$. В разложении числа 15 также есть $5^1$. Это означает, что в разложении числа $a$ множитель 5 может быть либо в степени 0 (отсутствовать), либо в степени 1. Наибольший показатель все равно будет 1. Значит, $z$ может быть равен 0 или 1.

• Другие простые множители: В разложении числа 90 нет других простых множителей. Следовательно, и в разложении числа $a$ их быть не может, иначе они бы вошли в разложение НОК.

Ответ: Разложение числа $a$ обязательно должно содержать множители $2$ в первой степени ($2^1$) и $3$ во второй степени ($3^2$). Множитель $5$ может входить в разложение в нулевой ($5^0$) или первой ($5^1$) степени. Других простых множителей в разложении числа $a$ быть не может.

3) Сделайте вывод о значениях числа a.

Основываясь на анализе из пункта 2, мы можем определить все возможные значения числа $a$. Разложение числа $a$ должно быть вида $a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^z$, где показатель $z$ может быть 0 или 1.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $z = 0$:

$a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^0 = 2 \cdot 9 \cdot 1 = 18$.

Проверим: НОК(15, 18) = НОК($3 \cdot 5$, $2 \cdot 3^2$) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 90$. Это значение подходит.

2. Если $z = 1$:

$a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$.

Проверим: НОК(15, 90) = 90, так как 90 кратно 15. Это значение тоже подходит.

Следовательно, существуют два натуральных числа $a$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: $a$ может принимать значения 18 и 90.