Номер 439, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

20. Возведение в степень произведения и степени. Параграф 7. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 439, страница 106.

Условие.

439. Запишите в виде степени с основанием x выражение:

а) $(x^6)^4$;

б) $x^6x^4$;

в) $x^2x^2$;

г) $(x^2)^2$;

д) $x^2x^3x^4$;

е) $((x^2)^3)^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы возвести степень в степень, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней перемножить. Используем свойство степеней: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применяя это правило к выражению $(x^6)^4$, получаем:

$(x^6)^4 = x^{6 \cdot 4} = x^{24}$

Ответ: $x^{24}$

б) При умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Используем свойство степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применяя это правило к выражению $x^6x^4$, получаем:

$x^6x^4 = x^{6+4} = x^{10}$

Ответ: $x^{10}$

в) Используем то же свойство, что и в пункте б): при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).

Применяя это правило к выражению $x^2x^2$, получаем:

$x^2x^2 = x^{2+2} = x^4$

Ответ: $x^4$

г) Используем то же свойство, что и в пункте а): при возведении степени в степень их показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).

Применяя это правило к выражению $(x^2)^2$, получаем:

$(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$

Ответ: $x^4$

д) Для умножения нескольких степеней с одинаковым основанием, нужно сложить все их показатели. Свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ обобщается для любого количества множителей: $a^{n_1} \cdot a^{n_2} \cdot \dots \cdot a^{n_k} = a^{n_1+n_2+\dots+n_k}$.

Применяя это правило к выражению $x^2x^3x^4$, получаем:

$x^2x^3x^4 = x^{2+3+4} = x^9$

Ответ: $x^9$

е) В данном выражении происходит многократное возведение степени в степень. Можно последовательно применять свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ или перемножить все показатели сразу.

Последовательное применение:

1. $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

2. $(x^6)^4 = x^{6 \cdot 4} = x^{24}$

Или сразу перемножаем все показатели:

$((x^2)^3)^4 = x^{2 \cdot 3 \cdot 4} = x^{24}$

Ответ: $x^{24}$