Номер 479, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень. Параграф 8. Одночлены. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 479, страница 112.

Условие.

479. Какой одночлен надо возвести в квадрат (в куб), чтобы получить одночлен:

a) $x^6y^{12}$;

б) $1\ 000\ 000m^{18}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы найти исходный одночлен, который нужно возвести в определённую степень, чтобы получить данный одночлен, необходимо выполнить обратную операцию — извлечь корень этой же степени из данного одночлена. Применяется правило извлечения корня из произведения и правило извлечения корня из степени: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{x^k} = x^{k/n}$.

а) Для одночлена $x^6y^{12}$

Найдём одночлен, который надо возвести в квадрат:
Для этого извлечём квадратный корень из $x^6y^{12}$.
$\sqrt{x^6y^{12}} = \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^{12}} = x^{6/2}y^{12/2} = x^3y^6$.
Поскольку при возведении в квадрат как положительного, так и отрицательного числа результат положителен (например, $A^2 = (-A)^2$), то искомый одночлен может иметь как знак «+», так и «-».
Проверка: $(\pm x^3y^6)^2 = (\pm 1)^2 (x^3)^2 (y^6)^2 = 1 \cdot x^6y^{12} = x^6y^{12}$.
Ответ: $\pm x^3y^6$.

Найдём одночлен, который надо возвести в куб:
Для этого извлечём кубический корень из $x^6y^{12}$.
$\sqrt[3]{x^6y^{12}} = \sqrt[3]{x^6} \cdot \sqrt[3]{y^{12}} = x^{6/3}y^{12/3} = x^2y^4$.
При возведении в нечётную степень знак сохраняется, поэтому здесь только один вариант.
Проверка: $(x^2y^4)^3 = (x^2)^3(y^4)^3 = x^6y^{12}$.
Ответ: $x^2y^4$.

б) Для одночлена $1\,000\,000m^{18}$

Найдём одночлен, который надо возвести в квадрат:
Извлечём квадратный корень из $1\,000\,000m^{18}$.
$\sqrt{1\,000\,000m^{18}} = \sqrt{1\,000\,000} \cdot \sqrt{m^{18}}$.
Коэффициент: $\sqrt{1\,000\,000} = \sqrt{10^6} = 10^{6/2} = 10^3 = 1000$.
Переменная: $\sqrt{m^{18}} = m^{18/2} = m^9$.
Таким образом, получаем $1000m^9$. Учитывая знак, получаем два возможных ответа.
Проверка: $(\pm 1000m^9)^2 = (\pm 1000)^2 (m^9)^2 = 1\,000\,000m^{18}$.
Ответ: $\pm 1000m^9$.

Найдём одночлен, который надо возвести в куб:
Извлечём кубический корень из $1\,000\,000m^{18}$.
$\sqrt[3]{1\,000\,000m^{18}} = \sqrt[3]{1\,000\,000} \cdot \sqrt[3]{m^{18}}$.
Коэффициент: $\sqrt[3]{1\,000\,000} = \sqrt[3]{10^6} = 10^{6/3} = 10^2 = 100$.
Переменная: $\sqrt[3]{m^{18}} = m^{18/3} = m^6$.
Таким образом, получаем $100m^6$.
Проверка: $(100m^6)^3 = 100^3 (m^6)^3 = (10^2)^3 m^{18} = 10^6 m^{18} = 1\,000\,000m^{18}$.
Ответ: $100m^6$.