Страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

638. Решите уравнение:

а) $\frac{6y + 7}{4} + \frac{8 - 5y}{3} = 5;$

б) $\frac{5a - 1}{3} = \frac{2a - 3}{5} - 1;$

в) $\frac{11x - 4}{7} - \frac{x - 9}{2} = 5;$

г) $\frac{2c - 1}{9} + \frac{c}{4} = \frac{c + 3}{6};$

д) $\frac{3p - 1}{24} - \frac{2p + 6}{36} - 1 = 0;$

е) $5 - \frac{1 - 2x}{4} = \frac{3x + 20}{6} + \frac{x}{3}.$

а) Чтобы решить уравнение $\frac{6y + 7}{4} + \frac{8 - 5y}{3} = 5$, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12. Умножим обе части уравнения на 12:
$12 \cdot \frac{6y + 7}{4} + 12 \cdot \frac{8 - 5y}{3} = 12 \cdot 5$
$3(6y + 7) + 4(8 - 5y) = 60$
Раскроем скобки:
$18y + 21 + 32 - 20y = 60$
Приведем подобные слагаемые:
$-2y + 53 = 60$
Перенесем 53 в правую часть:
$-2y = 60 - 53$
$-2y = 7$
Найдем $y$:
$y = \frac{7}{-2} = -3.5$
Ответ: $-3.5$

б) В уравнении $\frac{5a - 1}{3} = \frac{2a - 3}{5} - 1$ приведем все члены к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 — это 15. Умножим обе части уравнения на 15:
$15 \cdot \frac{5a - 1}{3} = 15 \cdot \frac{2a - 3}{5} - 15 \cdot 1$
$5(5a - 1) = 3(2a - 3) - 15$
Раскроем скобки:
$25a - 5 = 6a - 9 - 15$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$25a - 5 = 6a - 24$
Перенесем слагаемые с переменной $a$ в левую часть, а постоянные — в правую:
$25a - 6a = -24 + 5$
$19a = -19$
Найдем $a$:
$a = \frac{-19}{19} = -1$
Ответ: $-1$

в) Для решения уравнения $\frac{11x - 4}{7} - \frac{x - 9}{2} = 5$ найдем общий знаменатель дробей. Наименьший общий знаменатель для 7 и 2 — это 14. Умножим обе части на 14:
$14 \cdot \frac{11x - 4}{7} - 14 \cdot \frac{x - 9}{2} = 14 \cdot 5$
$2(11x - 4) - 7(x - 9) = 70$
Раскроем скобки, обращая внимание на знак "минус" перед второй дробью:
$22x - 8 - 7x + 63 = 70$
Приведем подобные слагаемые:
$15x + 55 = 70$
Перенесем 55 в правую часть:
$15x = 70 - 55$
$15x = 15$
Найдем $x$:
$x = \frac{15}{15} = 1$
Ответ: $1$

г) В уравнении $\frac{2c - 1}{9} + \frac{c}{4} = \frac{c + 3}{6}$ наименьший общий знаменатель для 9, 4 и 6 — это 36. Умножим все члены уравнения на 36:
$36 \cdot \frac{2c - 1}{9} + 36 \cdot \frac{c}{4} = 36 \cdot \frac{c + 3}{6}$
$4(2c - 1) + 9c = 6(c + 3)$
Раскроем скобки:
$8c - 4 + 9c = 6c + 18$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$17c - 4 = 6c + 18$
Перенесем слагаемые с переменной $c$ влево, а постоянные — вправо:
$17c - 6c = 18 + 4$
$11c = 22$
Найдем $c$:
$c = \frac{22}{11} = 2$
Ответ: $2$

д) Рассмотрим уравнение $\frac{3p - 1}{24} - \frac{2p + 6}{36} - 1 = 0$. Перенесем -1 в правую часть:
$\frac{3p - 1}{24} - \frac{2p + 6}{36} = 1$
Наименьший общий знаменатель для 24 и 36 — это 72. Умножим обе части на 72:
$72 \cdot \frac{3p - 1}{24} - 72 \cdot \frac{2p + 6}{36} = 72 \cdot 1$
$3(3p - 1) - 2(2p + 6) = 72$
Раскроем скобки:
$9p - 3 - 4p - 12 = 72$
Приведем подобные слагаемые:
$5p - 15 = 72$
Перенесем -15 в правую часть:
$5p = 72 + 15$
$5p = 87$
Найдем $p$:
$p = \frac{87}{5} = 17.4$
Ответ: $17.4$

е) В уравнении $5 - \frac{1 - 2x}{4} = \frac{3x + 20}{6} + \frac{x}{3}$ наименьший общий знаменатель для 4, 6 и 3 — это 12. Умножим обе части уравнения на 12:
$12 \cdot 5 - 12 \cdot \frac{1 - 2x}{4} = 12 \cdot \frac{3x + 20}{6} + 12 \cdot \frac{x}{3}$
$60 - 3(1 - 2x) = 2(3x + 20) + 4x$
Раскроем скобки:
$60 - 3 + 6x = 6x + 40 + 4x$
Приведем подобные слагаемые на обеих сторонах уравнения:
$57 + 6x = 10x + 40$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а постоянные — в другую:
$57 - 40 = 10x - 6x$
$17 = 4x$
Найдем $x$:
$x = \frac{17}{4} = 4.25$
Ответ: $4.25$

641. Старинная задача.

Трое выиграли некоторую сумму денег. На долю первого пришлась $\frac{1}{4}$ этой суммы, на долю второго — $\frac{1}{7}$, а на долю третьего — 17 флоринов. Как велик весь выигрыш?

Пусть $x$ — это весь выигрыш в флоринах.

Согласно условию задачи, доля первого игрока составляет $ \frac{1}{4} $ от всей суммы, то есть $ \frac{1}{4}x $.

Доля второго игрока составляет $ \frac{1}{7} $ от всей суммы, то есть $ \frac{1}{7}x $.

Доля третьего игрока составляет 17 флоринов.

Так как весь выигрыш состоит из суммы долей всех трех игроков, мы можем составить уравнение:

$ x = \frac{1}{4}x + \frac{1}{7}x + 17 $

Другой способ решения — найти, какую долю от общего выигрыша составляют 17 флоринов третьего игрока. Для этого нужно вычесть доли первого и второго игроков из целого (1).

Сначала найдем суммарную долю первого и второго игроков. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 7 — это 28.

$ \frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{7}{28} + \frac{4}{28} = \frac{11}{28} $

Теперь найдем долю третьего игрока, вычтя долю первых двух из единицы:

$ 1 - \frac{11}{28} = \frac{28}{28} - \frac{11}{28} = \frac{17}{28} $

Мы знаем, что эта доля равна 17 флоринам. Таким образом, $ \frac{17}{28} $ от всего выигрыша $x$ равны 17:

$ \frac{17}{28}x = 17 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 17:

$ \frac{1}{28}x = 1 $

Теперь умножим обе части на 28:

$ x = 28 $

Следовательно, весь выигрыш составляет 28 флоринов.

Проверим решение:

Выигрыш первого: $ \frac{1}{4} \cdot 28 = 7 $ флоринов.

Выигрыш второго: $ \frac{1}{7} \cdot 28 = 4 $ флорина.

Выигрыш третьего: 17 флоринов.

Общая сумма: $ 7 + 4 + 17 = 28 $ флоринов. Решение верно.

Ответ: 28 флоринов.

644. Увеличив среднюю скорость с 250 до 300 м/мин, спортсменка стала пробегать дистанцию на 1 мин быстрее. Какова длина дистанции?

Пусть $S$ — искомая длина дистанции в метрах.

Обозначим начальную скорость спортсменки как $v_1 = 250$ м/мин, а новую скорость — как $v_2 = 300$ м/мин.

Время, затраченное на прохождение дистанции с начальной скоростью, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{250}$ минут.

Время, затраченное на прохождение дистанции с новой скоростью, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{300}$ минут.

По условию задачи, с новой скоростью спортсменка пробежала дистанцию на 1 минуту быстрее. Это значит, что разница между временем $t_1$ и $t_2$ составляет 1 минуту:
$t_1 - t_2 = 1$

Подставим в это равенство выражения для $t_1$ и $t_2$ и составим уравнение:
$\frac{S}{250} - \frac{S}{300} = 1$

Для решения уравнения найдем общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное для чисел 250 и 300 — это 1500. Умножим обе части уравнения на 1500, чтобы избавиться от дробей:
$1500 \cdot \frac{S}{250} - 1500 \cdot \frac{S}{300} = 1 \cdot 1500$

Выполним вычисления:
$6S - 5S = 1500$
$S = 1500$

Таким образом, длина дистанции составляет 1500 метров.

Проверка:
Время с начальной скоростью: $t_1 = \frac{1500 \text{ м}}{250 \text{ м/мин}} = 6$ мин.
Время с новой скоростью: $t_2 = \frac{1500 \text{ м}}{300 \text{ м/мин}} = 5$ мин.
Разница во времени: $6 \text{ мин} - 5 \text{ мин} = 1$ мин.
Решение верное.

Ответ: 1500 м.

647. Из пункта А вышла грузовая машина со скоростью $60 \text{ км/ч}$. Через $2 \text{ ч}$ вслед за ней из пункта А вышла легковая машина со скоростью $90 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии от пункта А легковая машина догонит грузовую?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1 (по действиям)

1. Сначала определим, какое расстояние проехала грузовая машина за 2 часа, пока легковая стояла в пункте А. Это расстояние и будет начальной дистанцией между ними в момент старта легковой машины.

$S_{форы} = v_{груз} \times t_{форы} = 60 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 120 \text{ км}$

2. Легковая машина движется быстрее грузовой, поэтому она будет ее догонять. Найдем скорость сближения, которая равна разности их скоростей.

$v_{сближ} = v_{легк} - v_{груз} = 90 \text{ км/ч} - 60 \text{ км/ч} = 30 \text{ км/ч}$

3. Теперь мы можем найти время, за которое легковая машина покроет начальное расстояние в 120 км, двигаясь со скоростью сближения 30 км/ч. Это и будет время до встречи с момента выезда легковой машины.

$t_{встречи} = \frac{S_{форы}}{v_{сближ}} = \frac{120 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 4 \text{ ч}$

4. Зная, что легковая машина была в пути 4 часа, и ее скорость равна 90 км/ч, найдем расстояние от пункта А, на котором она догонит грузовую.

$S = v_{легк} \times t_{встречи} = 90 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 360 \text{ км}$

Способ 2 (через уравнение)

Пусть $t$ — это время (в часах), которое была в пути легковая машина до момента встречи. Тогда грузовая машина была в пути на 2 часа больше, то есть $(t + 2)$ часа.

К моменту встречи обе машины проедут одинаковое расстояние $S$ от пункта А.

Расстояние, которое проехала легковая машина, можно выразить формулой: $S = 90 \times t$.

Расстояние, которое проехала грузовая машина: $S = 60 \times (t + 2)$.

Так как расстояние, которое они проехали от пункта А, одинаково, приравняем правые части уравнений:

$90t = 60(t + 2)$

Теперь решим это уравнение:

$90t = 60t + 120$

$90t - 60t = 120$

$30t = 120$

$t = \frac{120}{30}$

$t = 4$ часа.

Мы нашли время, которое была в пути легковая машина. Теперь найдем расстояние от пункта А, подставив это время в формулу пути для легковой машины:

$S = 90 \times t = 90 \times 4 = 360 \text{ км}$

Ответ: легковая машина догонит грузовую на расстоянии 360 км от пункта А.

639. Периметр треугольника 44 см. Одна из его сторон на 4 см меньше другой и в 2 раза больше третьей стороны. Найдите стороны треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. По условию задачи, периметр равен 44 см.
$a + b + c = 44$

В задаче даны соотношения между сторонами. Обозначим одну из сторон, о которой идет речь в условии, как $x$.
Пусть первая сторона равна $x$ см.
Из условия "Одна из его сторон на 4 см меньше другой" следует, что другая (вторая) сторона на 4 см больше первой. Ее длина будет $(x + 4)$ см.
Из условия "...и в 2 раза больше третьей стороны" следует, что третья сторона в 2 раза меньше первой. Ее длина будет $(x / 2)$ см.

Теперь составим уравнение, подставив выражения для каждой стороны в формулу периметра:
$x + (x + 4) + \frac{x}{2} = 44$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$.
$2x + 4 + \frac{x}{2} = 44$
Вычтем 4 из обеих частей уравнения:
$2x + \frac{x}{2} = 40$
Чтобы избавиться от дробного члена, умножим все уравнение на 2:
$2 \cdot (2x) + 2 \cdot (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 40$
$4x + x = 80$
$5x = 80$
$x = \frac{80}{5}$
$x = 16$

Итак, мы нашли длину первой стороны — она равна 16 см. Теперь найдем длины двух других сторон:
Вторая сторона: $x + 4 = 16 + 4 = 20$ см.
Третья сторона: $x / 2 = 16 / 2 = 8$ см.

Проверим наше решение:
1. Периметр: $16 + 20 + 8 = 44$ см. (Верно)
2. Первая сторона (16 см) на 4 см меньше второй (20 см). (Верно, $20 - 16 = 4$)
3. Первая сторона (16 см) в 2 раза больше третьей (8 см). (Верно, $16 / 8 = 2$)

Ответ: стороны треугольника равны 8 см, 16 см и 20 см.

642. В первом сарае было сложено сена в 3 раза больше, чем во втором. После того как из первого сарая взяли 2 т, а во второй добавили 2 т сена, во втором сарае оказалось $\frac{5}{7}$ того, что осталось в первом сарае. Сколько тонн сена было в каждом сарае?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ тонн сена было во втором сарае первоначально. Тогда, согласно условию, что в первом сарае было сена в 3 раза больше, в нем было $3x$ тонн.

После того как из первого сарая взяли 2 тонны, количество сена в нем стало равно $(3x - 2)$ тонны.

После того как во второй сарай добавили 2 тонны, количество сена в нем стало равно $(x + 2)$ тонны.

Известно, что после этих изменений во втором сарае оказалось $\frac{5}{7}$ того, что осталось в первом сарае. На основе этого составим уравнение:

$x + 2 = \frac{5}{7}(3x - 2)$

Для решения уравнения умножим обе его части на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7 \cdot (x + 2) = 5 \cdot (3x - 2)$

Теперь раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$7x + 14 = 15x - 10$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$14 + 10 = 15x - 7x$

$24 = 8x$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{24}{8}$

$x = 3$

Следовательно, первоначально во втором сарае было 3 тонны сена.

Теперь найдем, сколько сена было в первом сарае:

$3x = 3 \cdot 3 = 9$ (тонн)

Проведем проверку:

Изначально: в первом сарае 9 т, во втором 3 т (в 3 раза больше, условие выполняется).

После изменений: в первом сарае осталось $9 - 2 = 7$ т, во втором стало $3 + 2 = 5$ т.

Проверим соотношение: $\frac{5}{7}$ от 7 т составляет $7 \cdot \frac{5}{7} = 5$ т. Это совпадает с количеством сена во втором сарае. Решение верное.

Ответ: первоначально в первом сарае было 9 тонн сена, а во втором — 3 тонны.

645. От турбазы до привала туристы шли со скоростью 4,5 км/ч, а возвращались на турбазу со скоростью 4 км/ч, затратив на обратный путь на 15 мин больше. На каком расстоянии от турбазы был сделан привал?

Пусть $S$ – расстояние от турбазы до привала в километрах.Скорость туристов на пути к привалу $v_1 = 4,5$ км/ч.Скорость туристов на обратном пути $v_2 = 4$ км/ч.

Время, которое туристы затратили на путь до привала, можно вычислить по формуле $t_1 = S/v_1$.$t_1 = S/4,5$ часа.

Время, которое туристы затратили на обратный путь, вычисляется аналогично: $t_2 = S/v_2$.$t_2 = S/4$ часа.

По условию задачи, на обратный путь было затрачено на 15 минут больше. Прежде чем составлять уравнение, необходимо перевести минуты в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч} = 0,25 \text{ ч}$.

Теперь можно составить уравнение, отражающее разницу во времени пути:$t_2 - t_1 = 0,25$

Подставим в уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$:$\frac{S}{4} - \frac{S}{4,5} = 0,25$

Для решения уравнения найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Удобно представить 4,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{9}{2}$:$\frac{S}{4} - \frac{S}{9/2} = 0,25$$\frac{S}{4} - \frac{2S}{9} = 0,25$

Общий знаменатель для 4 и 9 равен 36. Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от дробей:$36 \cdot (\frac{S}{4}) - 36 \cdot (\frac{2S}{9}) = 36 \cdot 0,25$$9S - 8S = 9$$S = 9$

Таким образом, расстояние от турбазы до привала равно 9 км.

Проверим решение:Время пути до привала: $t_1 = 9 \text{ км} / 4,5 \text{ км/ч} = 2$ часа.Время обратного пути: $t_2 = 9 \text{ км} / 4 \text{ км/ч} = 2,25$ часа.Разница во времени: $t_2 - t_1 = 2,25 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 0,25$ часа, что составляет $0,25 \cdot 60 = 15$ минут.Полученный результат соответствует условию задачи.

Ответ: 9 км.

640. Фирма арендует три помещения общей площадью 166 $м^2$. Площадь одного из них в полтора раза больше площади другого и на 6 $м^2$ меньше площади третьего. Найдите площадь каждого помещения.

Для решения задачи введем переменную. Пусть площадь второго помещения равна $x$ м². В условии сказано, что площадь одного из помещений (назовем его первым) в полтора раза (то есть в 1,5 раза) больше площади второго. Следовательно, площадь первого помещения составляет $1.5 \cdot x = 1.5x$ м².

Также известно, что площадь этого же первого помещения на 6 м² меньше площади третьего. Это означает, что третье помещение на 6 м² больше первого. Таким образом, площадь третьего помещения равна $(1.5x + 6)$ м².

Общая площадь всех трех помещений равна 166 м². Мы можем составить уравнение, сложив площади всех помещений:

$x + 1.5x + (1.5x + 6) = 166$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сложив все члены с $x$:

$(1 + 1.5 + 1.5)x + 6 = 166$

$4x + 6 = 166$

Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$4x = 166 - 6$

$4x = 160$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{160}{4}$

$x = 40$

Таким образом, мы нашли площадь второго помещения: 40 м².

Теперь найдем площади остальных двух помещений:

Площадь первого помещения: $1.5x = 1.5 \cdot 40 = 60$ м².

Площадь третьего помещения: $1.5x + 6 = 60 + 6 = 66$ м².

Проверим правильность решения, сложив найденные площади:

$40 \text{ м²} + 60 \text{ м²} + 66 \text{ м²} = 166 \text{ м²}$

Сумма совпадает с общей площадью, указанной в условии задачи.

Ответ: площади помещений равны 40 м², 60 м² и 66 м².

643. Скашивая ежедневно по 60 га вместо 50 га, бригада сумела скосить луг на один день быстрее, чем планировалось. Какова площадь луга?

Для решения задачи обозначим искомую площадь луга через $S$ (в гектарах).

По первоначальному плану, бригада должна была скашивать 50 га в день. Следовательно, плановое время на выполнение всей работы составляет:
$t_{план} = \frac{S}{50}$ дней.

Фактически бригада скашивала по 60 га в день. Следовательно, фактическое время, затраченное на работу, составило:
$t_{факт} = \frac{S}{60}$ дней.

Согласно условию, бригада выполнила работу на 1 день быстрее, чем планировалось. Это означает, что плановое время на один день больше фактического:
$t_{план} - t_{факт} = 1$

Теперь мы можем составить уравнение, подставив выражения для времени:
$\frac{S}{50} - \frac{S}{60} = 1$

Для решения этого уравнения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным для чисел 50 и 60 является 300. Умножим обе части уравнения на 300:

$300 \cdot \left(\frac{S}{50}\right) - 300 \cdot \left(\frac{S}{60}\right) = 300 \cdot 1$

После сокращения получим:

$6S - 5S = 300$

$S = 300$

Таким образом, площадь луга равна 300 гектаров.

Проверка:
Время по плану: $\frac{300 \text{ га}}{50 \text{ га/день}} = 6$ дней.
Фактическое время: $\frac{300 \text{ га}}{60 \text{ га/день}} = 5$ дней.
Разница во времени: $6 - 5 = 1$ день, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 300 га.

646. Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно вслед за ним из пункта В, отстоящего от пункта А на расстоянии 60 км, выехал мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, а мотоциклист — со скоростью 30 км/ч. На каком расстоянии от пункта А мотоциклист догонит велосипедиста?

Для решения задачи определим начальные условия. Велосипедист выезжает из пункта А, а мотоциклист из пункта B. Мотоциклист движется "вслед за" велосипедистом, что означает, что они едут в одном направлении, и велосипедист находится впереди. Начальное расстояние между ними, равное расстоянию между пунктами A и B, составляет 60 км.

Введем следующие обозначения: $v_в = 12$ км/ч — скорость велосипедиста, $v_м = 30$ км/ч — скорость мотоциклиста, $S = 60$ км — начальное расстояние между ними.

1. Нахождение скорости сближения

Скорость сближения — это скорость, с которой сокращается расстояние между движущимися объектами. Так как мотоциклист догоняет велосипедиста, скорость сближения равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_м - v_в = 30 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч} = 18 \text{ км/ч}$

2. Нахождение времени до встречи

Время $t$, необходимое мотоциклисту, чтобы догнать велосипедиста, можно найти, разделив начальное расстояние на скорость сближения:

$t = \frac{S}{v_{сбл}} = \frac{60 \text{ км}}{18 \text{ км/ч}} = \frac{10}{3} \text{ часа}$

3. Нахождение расстояния от пункта А до места встречи

В задаче требуется найти, на каком расстоянии от пункта А произойдет встреча. Пункт А является точкой старта велосипедиста. Чтобы найти это расстояние, нужно умножить скорость велосипедиста на время его движения до момента встречи.

$S_{от\,А} = v_в \times t = 12 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \times \frac{10}{3} \text{ ч} = \frac{120}{3} \text{ км} = 40 \text{ км}$

Ответ: мотоциклист догонит велосипедиста на расстоянии 40 км от пункта А.