Страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

656. Представьте в виде произведения:

а) $7a + 7y;$

б) $-8b + 8c;$

в) $12x + 48y;$

г) $-9m - 27n;$

д) $12a + 12;$

е) $-10 - 10c.$

а) Чтобы представить выражение $7a + 7y$ в виде произведения, необходимо найти общий множитель у слагаемых $7a$ и $7y$. Этим множителем является число 7. Вынесем его за скобки:
$7a + 7y = 7 \cdot a + 7 \cdot y = 7(a + y)$.
Ответ: $7(a + y)$.

б) В выражении $-8b + 8c$ общим множителем для слагаемых $-8b$ и $8c$ является число 8. Вынесем его за скобки:
$-8b + 8c = 8 \cdot (-b) + 8 \cdot c = 8(-b + c)$. Для удобства можно поменять слагаемые в скобках местами: $8(c - b)$.
Также можно было вынести за скобки $-8$: $-8b + 8c = -8(b - c)$. Оба варианта верны.
Ответ: $8(c - b)$.

в) Для выражения $12x + 48y$ найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 12 и 48. Так как $48 = 12 \cdot 4$, то НОД(12, 48) = 12. Вынесем 12 за скобки:
$12x + 48y = 12 \cdot x + 12 \cdot 4y = 12(x + 4y)$.
Ответ: $12(x + 4y)$.

г) В выражении $-9m - 27n$ оба слагаемых отрицательны. Найдем НОД для модулей коэффициентов 9 и 27. Так как $27 = 9 \cdot 3$, то НОД(9, 27) = 9. Вынесем за скобки общий множитель $-9$:
$-9m - 27n = -9 \cdot m - 9 \cdot 3n = -9(m + 3n)$.
Ответ: $-9(m + 3n)$.

д) В выражении $12a + 12$ общим множителем является число 12. Важно помнить, что при вынесении множителя 12 из слагаемого 12, на его месте остается единица, так как $12 = 12 \cdot 1$:
$12a + 12 = 12 \cdot a + 12 \cdot 1 = 12(a + 1)$.
Ответ: $12(a + 1)$.

е) В выражении $-10 - 10c$ общим множителем является $-10$. Вынесем его за скобки. При вынесении $-10$ из первого слагаемого $(-10)$ остается 1:
$-10 - 10c = -10 \cdot 1 - 10 \cdot c = -10(1 + c)$.
Ответ: $-10(1 + c)$.

654. Разложите на множители и сделайте проверку:

а) $mx + my;$

б) $hx - px;$

в) $-ab + ac;$

г) $-ma - na.$

а) $mx + my$

Для разложения на множители данного выражения необходимо найти общий множитель у членов $mx$ и $my$. Общим множителем является $m$. Вынесем его за скобки:

$mx + my = m(x + y)$

Проверка:

Чтобы выполнить проверку, нужно раскрыть скобки, умножив $m$ на каждый член в скобках:

$m(x + y) = m \cdot x + m \cdot y = mx + my$

Полученное выражение совпадает с исходным, следовательно, разложение выполнено верно.

Ответ: $m(x + y)$

б) $kx - px$

В данном выражении общим множителем для членов $kx$ и $px$ является $x$. Вынесем $x$ за скобки:

$kx - px = x(k - p)$

Проверка:

Раскроем скобки, умножив $x$ на каждый член в скобках:

$x(k - p) = x \cdot k - x \cdot p = kx - px$

Полученное выражение совпадает с исходным, значит, разложение верное.

Ответ: $x(k - p)$

в) $-ab + ac$

В выражении $-ab + ac$ общим множителем является $a$. Для удобства можно поменять слагаемые местами, чтобы начать с положительного члена: $ac - ab$. Вынесем $a$ за скобки:

$ac - ab = a(c - b)$

Проверка:

Раскроем скобки, умножив $a$ на каждый член внутри них:

$a(c - b) = a \cdot c - a \cdot b = ac - ab$

Полученное выражение $-ab + ac$ совпадает с исходным.

Ответ: $a(c - b)$

г) $-ma - na$

В выражении $-ma - na$ общим множителем является $-a$. Вынесем его за скобки. При вынесении отрицательного множителя знаки членов в скобках меняются на противоположные:

$-ma - na = -a(m + n)$

Проверка:

Раскроем скобки, умножив $-a$ на каждый член в скобках:

$-a(m + n) = (-a) \cdot m + (-a) \cdot n = -am - an$

Так как от перестановки множителей произведение не меняется ($am = ma$ и $an = na$), полученное выражение $-ma - na$ совпадает с исходным.

Ответ: $-a(m + n)$

657. Разложите на множители:

а) $7ax + 7bx;$

б) $3by - 6b;$

в) $-5mn + 5n;$

г) $3a + 9ab;$

д) $5y^2 - 15y;$

е) $3x + 6x^2;$

ж) $a^2 - ab;$

з) $8mn - 4m^2;$

и) $-6ab + 9b^2;$

к) $x^2y - xy^2;$

л) $ab - a^2b;$

м) $-p^2q^2 - pq.$

а) В выражении $7ax + 7bx$ оба слагаемых $7ax$ и $7bx$ имеют общие множители 7 и $x$. Вынесем общий множитель $7x$ за скобки.

$7ax + 7bx = 7x \cdot a + 7x \cdot b = 7x(a + b)$

Ответ: $7x(a + b)$

б) В выражении $3by - 6b$ найдем наибольший общий делитель для коэффициентов 3 и 6, это 3. Также оба слагаемых содержат общий множитель $b$. Вынесем за скобки $3b$.

$3by - 6b = 3b \cdot y - 3b \cdot 2 = 3b(y - 2)$

Ответ: $3b(y - 2)$

в) В выражении $-5mn + 5n$ оба слагаемых содержат общие множители 5 и $n$. Вынесем $5n$ за скобки.

$-5mn + 5n = 5n \cdot (-m) + 5n \cdot 1 = 5n(-m + 1) = 5n(1 - m)$

Ответ: $5n(1 - m)$

г) В выражении $3a + 9ab$ наибольший общий делитель коэффициентов 3 и 9 равен 3. Общий множитель переменных - $a$. Вынесем за скобки $3a$.

$3a + 9ab = 3a \cdot 1 + 3a \cdot 3b = 3a(1 + 3b)$

Ответ: $3a(1 + 3b)$

д) В выражении $5y^2 - 15y$ наибольший общий делитель коэффициентов 5 и 15 равен 5. Общий множитель переменных - $y$. Вынесем за скобки $5y$.

$5y^2 - 15y = 5y \cdot y - 5y \cdot 3 = 5y(y - 3)$

Ответ: $5y(y - 3)$

е) В выражении $3x + 6x^2$ наибольший общий делитель коэффициентов 3 и 6 равен 3. Общий множитель переменных - $x$. Вынесем за скобки $3x$.

$3x + 6x^2 = 3x \cdot 1 + 3x \cdot 2x = 3x(1 + 2x)$

Ответ: $3x(1 + 2x)$

ж) В выражении $a^2 - ab$ оба слагаемых содержат общий множитель $a$. Вынесем $a$ за скобки.

$a^2 - ab = a \cdot a - a \cdot b = a(a - b)$

Ответ: $a(a - b)$

з) В выражении $8mn - 4m^2$ наибольший общий делитель коэффициентов 8 и 4 равен 4. Общий множитель переменных - $m$. Вынесем за скобки $4m$.

$8mn - 4m^2 = 4m \cdot 2n - 4m \cdot m = 4m(2n - m)$

Ответ: $4m(2n - m)$

и) В выражении $-6ab + 9b^2$ наибольший общий делитель коэффициентов 6 и 9 равен 3. Общий множитель переменных - $b$. Вынесем за скобки $3b$.

$-6ab + 9b^2 = 3b \cdot (-2a) + 3b \cdot 3b = 3b(-2a + 3b) = 3b(3b - 2a)$

Ответ: $3b(3b - 2a)$

к) В выражении $x^2y - xy^2$ оба слагаемых содержат общие множители $x$ и $y$. Вынесем за скобки $xy$.

$x^2y - xy^2 = xy \cdot x - xy \cdot y = xy(x - y)$

Ответ: $xy(x - y)$

л) В выражении $ab - a^2b$ оба слагаемых содержат общие множители $a$ и $b$. Вынесем за скобки $ab$.

$ab - a^2b = ab \cdot 1 - ab \cdot a = ab(1 - a)$

Ответ: $ab(1 - a)$

м) В выражении $-p^2q^2 - pq$ оба слагаемых содержат общие множители $p$ и $q$. Также оба слагаемых отрицательны, поэтому удобно вынести за скобки $-pq$.

$-p^2q^2 - pq = -pq \cdot pq - pq \cdot 1 = -pq(pq + 1)$

Ответ: $-pq(pq + 1)$

655. Вынесите за скобки общий множитель:

а) $5x + 5y;$
б) $4a - 4b;$
в) $3c + 15d;$
г) $-6m - 9n;$
д) $ax + ay;$
е) $bc - bd;$
ж) $ab + a;$
з) $cy - c;$
и) $-ma - a.$

а) В выражении $5x + 5y$ оба слагаемых, $5x$ и $5y$, имеют общий числовой множитель $5$. Чтобы вынести его за скобки, нужно каждое слагаемое разделить на этот множитель:
$5x : 5 = x$
$5y : 5 = y$
Результаты деления записываем в скобках, а общий множитель ставим перед ними.
$5x + 5y = 5(x + y)$.
Ответ: $5(x + y)$

б) В выражении $4a - 4b$ оба члена имеют общий множитель $4$. Вынесем его за скобки:
$4a : 4 = a$
$4b : 4 = b$
$4a - 4b = 4(a - b)$.
Ответ: $4(a - b)$

в) В выражении $3c + 15d$ нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов $3$ и $15$. НОД(3, 15) = 3. Это и есть общий числовой множитель.
$3c : 3 = c$
$15d : 3 = 5d$
$3c + 15d = 3(c + 5d)$.
Ответ: $3(c + 5d)$

г) В выражении $-6m - 9n$ коэффициенты $-6$ и $-9$ имеют общий делитель $3$. Поскольку оба члена отрицательны, удобно вынести за скобки множитель с отрицательным знаком, то есть $-3$.
$-6m : (-3) = 2m$
$-9n : (-3) = 3n$
$-6m - 9n = -3(2m + 3n)$.
Ответ: $-3(2m + 3n)$

д) В выражении $ax + ay$ оба слагаемых содержат общий буквенный множитель $a$. Вынесем его за скобки.
$ax : a = x$
$ay : a = y$
$ax + ay = a(x + y)$.
Ответ: $a(x + y)$

е) В выражении $bc - bd$ общим множителем для членов $bc$ и $bd$ является переменная $b$.
$bc : b = c$
$bd : b = d$
$bc - bd = b(c - d)$.
Ответ: $b(c - d)$

ж) В выражении $ab + a$ общим множителем является $a$. Важно помнить, что слагаемое $a$ можно представить как произведение $a \cdot 1$.
$ab : a = b$
$a : a = 1$
$ab + a = a(b + 1)$.
Ответ: $a(b + 1)$

з) В выражении $cy - c$ общим множителем является $c$. Вычитаемое $c$ представим как $c \cdot 1$.
$cy : c = y$
$c : c = 1$
$cy - c = c(y - 1)$.
Ответ: $c(y - 1)$

и) В выражении $-ma - a$ общим множителем является $a$. Так как оба члена отрицательны, вынесем за скобки $-a$.
$-ma : (-a) = m$
$-a : (-a) = 1$
$-ma - a = -a(m + 1)$.
Ответ: $-a(m + 1)$