Страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

685. Представьте в виде многочлена:

a) $y^2(y + 5)(y - 3);$

б) $2a^2(a - 1)(3 - a);$

в) $-3b^3(b + 2)(1 - b);$

г) $-0,5c^2(2c - 3)(4 - c^2).$

а) Чтобы представить выражение $y^2(y + 5)(y - 3)$ в виде многочлена, необходимо последовательно выполнить умножение. Сначала перемножим многочлены в скобках, а затем полученный результат умножим на одночлен $y^2$.

1. Умножение многочленов $(y + 5)$ и $(y - 3)$:

$(y + 5)(y - 3) = y \cdot y + y \cdot (-3) + 5 \cdot y + 5 \cdot (-3) = y^2 - 3y + 5y - 15$.

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (-3y + 5y) - 15 = y^2 + 2y - 15$.

2. Умножение полученного многочлена на $y^2$:

$y^2(y^2 + 2y - 15) = y^2 \cdot y^2 + y^2 \cdot 2y + y^2 \cdot (-15) = y^4 + 2y^3 - 15y^2$.

Ответ: $y^4 + 2y^3 - 15y^2$.

б) Представим выражение $2a^2(a - 1)(3 - a)$ в виде многочлена. Сначала перемножим скобки, а затем умножим результат на $2a^2$.

1. Умножение многочленов $(a - 1)$ и $(3 - a)$:

$(a - 1)(3 - a) = a \cdot 3 + a \cdot (-a) - 1 \cdot 3 - 1 \cdot (-a) = 3a - a^2 - 3 + a$.

Приведем подобные слагаемые и запишем в стандартном виде:

$-a^2 + (3a + a) - 3 = -a^2 + 4a - 3$.

2. Умножение полученного многочлена на $2a^2$:

$2a^2(-a^2 + 4a - 3) = 2a^2 \cdot (-a^2) + 2a^2 \cdot 4a + 2a^2 \cdot (-3) = -2a^4 + 8a^3 - 6a^2$.

Ответ: $-2a^4 + 8a^3 - 6a^2$.

в) Представим выражение $-3b^3(b + 2)(1 - b)$ в виде многочлена. Выполним умножение в том же порядке: сначала скобки, затем на одночлен.

1. Умножение многочленов $(b + 2)$ и $(1 - b)$:

$(b + 2)(1 - b) = b \cdot 1 + b \cdot (-b) + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-b) = b - b^2 + 2 - 2b$.

Приведем подобные слагаемые и запишем в стандартном виде:

$-b^2 + (b - 2b) + 2 = -b^2 - b + 2$.

2. Умножение полученного многочлена на $-3b^3$:

$-3b^3(-b^2 - b + 2) = (-3b^3) \cdot (-b^2) + (-3b^3) \cdot (-b) + (-3b^3) \cdot 2 = 3b^5 + 3b^4 - 6b^3$.

Ответ: $3b^5 + 3b^4 - 6b^3$.

г) Представим выражение $-0,5c^2(2c - 3)(4 - c^2)$ в виде многочлена.

1. Умножение многочленов $(2c - 3)$ и $(4 - c^2)$:

$(2c - 3)(4 - c^2) = 2c \cdot 4 + 2c \cdot (-c^2) - 3 \cdot 4 - 3 \cdot (-c^2) = 8c - 2c^3 - 12 + 3c^2$.

Приведем многочлен к стандартному виду, расположив члены по убыванию степеней переменной:

$-2c^3 + 3c^2 + 8c - 12$.

2. Умножение полученного многочлена на $-0,5c^2$:

$-0,5c^2(-2c^3 + 3c^2 + 8c - 12) = (-0,5c^2) \cdot (-2c^3) + (-0,5c^2) \cdot (3c^2) + (-0,5c^2) \cdot (8c) + (-0,5c^2) \cdot (-12) = c^5 - 1,5c^4 - 4c^3 + 6c^2$.

Ответ: $c^5 - 1,5c^4 - 4c^3 + 6c^2$.

688. Значения каких переменных надо знать, чтобы найти значение выражения $(3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b) + 7ab$? Выберите верный ответ.

1. Переменных $a$ и $b$

2. Только переменной $a$

3. Только переменной $b$

4. Ни одной из переменных $a$ и $b$, так как значение выражения не зависит от значений переменных

Для того чтобы определить, значения каких переменных нужно знать для нахождения значения выражения, необходимо это выражение упростить.

Исходное выражение: $(3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b) + 7ab$.

1. Сначала раскроем произведение двух многочленов $(3a - 2b)(2a - 3b)$:
$(3a - 2b)(2a - 3b) = 3a \cdot 2a + 3a \cdot (-3b) - 2b \cdot 2a - 2b \cdot (-3b) = 6a^2 - 9ab - 4ab + 6b^2$.
Приведем подобные члены: $6a^2 - 13ab + 6b^2$.

2. Затем раскроем скобки во втором члене выражения, используя распределительный закон:
$-6a(a - b) = -6a \cdot a - 6a \cdot (-b) = -6a^2 + 6ab$.

3. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(6a^2 - 13ab + 6b^2) - 6a^2 + 6ab + 7ab$
Сгруппируем члены с одинаковыми переменными:
$(6a^2 - 6a^2) + (-13ab + 6ab + 7ab) + 6b^2$.

4. Выполним вычисления в каждой группе:
$6a^2 - 6a^2 = 0$
$-13ab + 6ab + 7ab = -13ab + 13ab = 0$
Итоговое выражение: $0 + 0 + 6b^2 = 6b^2$.

После упрощения мы получили выражение $6b^2$. Его значение зависит только от значения переменной $b$. Значение переменной $a$ для вычисления не требуется, так как она сократилась в процессе преобразований.

Следовательно, верный ответ — 3.

Ответ: 3. Только переменной $b$.

691. Докажите тождество:

а) $ (c - 8)(c + 3) = c^2 - 5c - 24; $

б) $ m^2 + 3m - 28 = (m - 4)(m + 7). $

а) Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член одного двучлена на каждый член другого, а затем приведём подобные слагаемые:

$(c - 8)(c + 3) = c \cdot c + c \cdot 3 - 8 \cdot c - 8 \cdot 3 = c^2 + 3c - 8c - 24 = c^2 - 5c - 24$.

В результате преобразований мы получили выражение, идентичное правой части исходного равенства: $c^2 - 5c - 24 = c^2 - 5c - 24$.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$(m - 4)(m + 7) = m \cdot m + m \cdot 7 - 4 \cdot m - 4 \cdot 7 = m^2 + 7m - 4m - 28 = m^2 + 3m - 28$.

В результате преобразований мы получили выражение, идентичное левой части исходного равенства: $m^2 + 3m - 28 = m^2 + 3m - 28$.

Ответ: Тождество доказано.

694. Докажите, что выражение $(y - 6)(y + 8) - 2(y - 25)$ при любом значении $y$ принимает положительное значение.

Чтобы доказать, что выражение $(y - 6)(y + 8) - 2(y - 25)$ при любом значении $y$ принимает положительное значение, мы сначала его упростим, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:
$(y - 6)(y + 8) = y \cdot y + y \cdot 8 - 6 \cdot y - 6 \cdot 8 = y^2 + 8y - 6y - 48 = y^2 + 2y - 48$.

2. Раскроем вторую часть выражения, умножив $-2$ на каждый член в скобках:
$-2(y - 25) = -2 \cdot y - 2 \cdot (-25) = -2y + 50$.

3. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:
$(y^2 + 2y - 48) + (-2y + 50) = y^2 + 2y - 48 - 2y + 50$.

4. Сгруппируем и сократим подобные члены:
$y^2 + (2y - 2y) + (50 - 48) = y^2 + 0 + 2 = y^2 + 2$.

После упрощения исходное выражение приняло вид $y^2 + 2$.

Теперь проанализируем это выражение. Слагаемое $y^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $y^2 \ge 0$ при любом значении $y$.

Наименьшее значение, которое может принять $y^2$, равно $0$ (это происходит, когда $y=0$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $y^2 + 2$ достигается при $y=0$ и равно $0 + 2 = 2$.

Так как наименьшее значение выражения равно $2$, а $2 > 0$, то выражение $y^2 + 2$ всегда будет положительным при любом возможном значении $y$.

Ответ: После преобразований выражение равно $y^2 + 2$. Поскольку $y^2 \ge 0$ для любого $y$, то $y^2 + 2 \ge 2$. Так как $2 > 0$, то и исходное выражение всегда принимает положительное значение. Что и требовалось доказать.

686. Запишите в виде многочлена выражение:

а) $(x + 1)(x + 2)(x + 3);$

б) $(a - 1)(a - 4)(a + 5).$

a)

Чтобы записать выражение $(x + 1)(x + 2)(x + 3)$ в виде многочлена, необходимо последовательно перемножить скобки.

1. Сначала перемножим первые две скобки:
$(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (2x + x) + 2 = x^2 + 3x + 2$

2. Теперь умножим полученный многочлен $(x^2 + 3x + 2)$ на оставшуюся скобку $(x + 3)$. Для этого каждый член первого многочлена умножим на каждый член второго:
$(x^2 + 3x + 2)(x + 3) = x^2 \cdot (x + 3) + 3x \cdot (x + 3) + 2 \cdot (x + 3) = x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6$

3. Снова приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (3x^2 + 3x^2) + (9x + 2x) + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$

Ответ: $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$

б)

Чтобы записать выражение $(a - 1)(a - 4)(a + 5)$ в виде многочлена, выполним действия аналогично предыдущему пункту.

1. Сначала перемножим первые две скобки:
$(a - 1)(a - 4) = a \cdot a + a \cdot (-4) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-4) = a^2 - 4a - a + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (-4a - a) + 4 = a^2 - 5a + 4$

2. Теперь умножим полученный многочлен $(a^2 - 5a + 4)$ на оставшуюся скобку $(a + 5)$:
$(a^2 - 5a + 4)(a + 5) = a^2 \cdot (a + 5) - 5a \cdot (a + 5) + 4 \cdot (a + 5) = a^3 + 5a^2 - 5a^2 - 25a + 4a + 20$

3. Снова приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (5a^2 - 5a^2) + (-25a + 4a) + 20 = a^3 + 0 - 21a + 20 = a^3 - 21a + 20$

Ответ: $a^3 - 21a + 20$

689. Зная, что $a = 3x - 1$, $b = x + 1$, $c = 2x + 4$, $d = 6x - 5$, представьте в виде многочлена с переменной $x$ выражение $ac - bd$.

Для того чтобы представить выражение $ac - bd$ в виде многочлена с переменной $x$, необходимо подставить в него заданные выражения для $a, b, c$ и $d$, а затем упростить полученное выражение.

Исходные данные:

$a = 3x - 1$

$b = x + 1$

$c = 2x + 4$

$d = 6x - 5$

1. Найдем произведение $ac$. Для этого умножим многочлен $(3x - 1)$ на многочлен $(2x + 4)$:

$ac = (3x - 1)(2x + 4) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 4 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 4 = 6x^2 + 12x - 2x - 4$

Приведем подобные члены:

$ac = 6x^2 + (12x - 2x) - 4 = 6x^2 + 10x - 4$

2. Найдем произведение $bd$. Для этого умножим многочлен $(x + 1)$ на многочлен $(6x - 5)$:

$bd = (x + 1)(6x - 5) = x \cdot 6x + x \cdot (-5) + 1 \cdot 6x + 1 \cdot (-5) = 6x^2 - 5x + 6x - 5$

Приведем подобные члены:

$bd = 6x^2 + (-5x + 6x) - 5 = 6x^2 + x - 5$

3. Теперь найдем разность $ac - bd$, подставив полученные многочлены:

$ac - bd = (6x^2 + 10x - 4) - (6x^2 + x - 5)$

Раскроем скобки, изменив знаки членов второго многочлена на противоположные:

$ac - bd = 6x^2 + 10x - 4 - 6x^2 - x + 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ac - bd = (6x^2 - 6x^2) + (10x - x) + (-4 + 5) = 0 + 9x + 1 = 9x + 1$

Ответ: $9x + 1$

692. Докажите тождество:

а) $(x - 3)(x + 7) - 13 = (x + 8)(x - 4) - 2;$

б) $16 - (a + 3)(a + 2) = 4 - (6 + a)(a - 1).$

а) Для того чтобы доказать тождество, необходимо преобразовать его левую и правую части и показать, что они равны. Выполним преобразования для каждой части по отдельности.

Преобразуем левую часть равенства:

$(x - 3)(x + 7) - 13 = (x \cdot x + 7x - 3x - 21) - 13 = (x^2 + 4x - 21) - 13 = x^2 + 4x - 34$.

Преобразуем правую часть равенства:

$(x + 8)(x - 4) - 2 = (x \cdot x - 4x + 8x - 32) - 2 = (x^2 + 4x - 32) - 2 = x^2 + 4x - 34$.

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части равны одному и тому же выражению $x^2 + 4x - 34$. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

б) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем обе части данного равенства.

Преобразуем левую часть:

$16 - (a + 3)(a + 2) = 16 - (a \cdot a + 2a + 3a + 6) = 16 - (a^2 + 5a + 6) = 16 - a^2 - 5a - 6 = -a^2 - 5a + 10$.

Преобразуем правую часть:

$4 - (6 + a)(a - 1) = 4 - (6a - 6 + a^2 - a) = 4 - (a^2 + 5a - 6) = 4 - a^2 - 5a + 6 = -a^2 - 5a + 10$.

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части равны одному и тому же выражению $-a^2 - 5a + 10$. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

695. Докажите, что при всех целых n значение выражения:

а) $n(n - 1) - (n + 3)(n + 2)$ делится на 6;

б) $n(n + 2) - (n - 7)(n - 5)$ делится на 7.

а) Докажем, что при всех целых $n$ значение выражения $n(n - 1) - (n + 3)(n + 2)$ делится на 6.
Для этого упростим выражение. Сначала раскроем скобки:
$n(n - 1) = n^2 - n$
$(n + 3)(n + 2) = n^2 + 2n + 3n + 6 = n^2 + 5n + 6$
Теперь подставим результаты в исходное выражение и приведём подобные слагаемые:
$(n^2 - n) - (n^2 + 5n + 6) = n^2 - n - n^2 - 5n - 6 = -6n - 6$.
Вынесем общий множитель $-6$ за скобки:
$-6(n + 1)$.
Поскольку $n$ — целое число, то $(n + 1)$ также является целым числом. Произведение $-6$ на целое число $(n + 1)$ всегда делится на 6. Таким образом, исходное выражение делится на 6 при любом целом $n$.
Ответ: Выражение тождественно равно $-6(n+1)$, что доказывает его делимость на 6 для любого целого $n$.

б) Докажем, что при всех целых $n$ значение выражения $n(n + 2) - (n - 7)(n - 5)$ делится на 7.
Для этого упростим выражение. Сначала раскроем скобки:
$n(n + 2) = n^2 + 2n$
$(n - 7)(n - 5) = n^2 - 5n - 7n + 35 = n^2 - 12n + 35$
Теперь подставим результаты в исходное выражение и приведём подобные слагаемые:
$(n^2 + 2n) - (n^2 - 12n + 35) = n^2 + 2n - n^2 + 12n - 35 = 14n - 35$.
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7(2n - 5)$.
Поскольку $n$ — целое число, то $2n$ — целое число, и $(2n - 5)$ также является целым числом. Произведение 7 на целое число $(2n - 5)$ всегда делится на 7. Таким образом, исходное выражение делится на 7 при любом целом $n$.
Ответ: Выражение тождественно равно $7(2n-5)$, что доказывает его делимость на 7 для любого целого $n$.

684. Запишите в виде многочлена:

а) $(c^2 - cd - d^2)(c + d);$

б) $(x - y)(x^2 - xy - y^2);$

в) $(4a^2 + a + 3)(a - 1);$

г) $(3 - x)(3x^2 + x - 4).$

Чтобы записать выражение $(c^2 - cd - d^2)(c + d)$ в виде многочлена, нужно каждый член первого многочлена $(c^2 - cd - d^2)$ умножить на каждый член второго многочлена $(c + d)$ и сложить полученные произведения.

$(c^2 - cd - d^2)(c + d) = c^2 \cdot c + c^2 \cdot d - cd \cdot c - cd \cdot d - d^2 \cdot c - d^2 \cdot d$

Выполним умножение:

$c^3 + c^2d - c^2d - cd^2 - cd^2 - d^3$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

$c^3 + (c^2d - c^2d) + (-cd^2 - cd^2) - d^3 = c^3 + 0 - 2cd^2 - d^3 = c^3 - 2cd^2 - d^3$

Ответ: $c^3 - 2cd^2 - d^3$

Аналогично преобразуем выражение $(x - y)(x^2 - xy - y^2)$, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй.

$(x - y)(x^2 - xy - y^2) = x \cdot x^2 + x \cdot (-xy) + x \cdot (-y^2) - y \cdot x^2 - y \cdot (-xy) - y \cdot (-y^2)$

Выполним умножение:

$x^3 - x^2y - xy^2 - x^2y + xy^2 + y^3$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2y - x^2y) + (-xy^2 + xy^2) + y^3 = x^3 - 2x^2y + 0 + y^3 = x^3 - 2x^2y + y^3$

Ответ: $x^3 - 2x^2y + y^3$

Преобразуем выражение $(4a^2 + a + 3)(a - 1)$ в многочлен.

$(4a^2 + a + 3)(a - 1) = 4a^2 \cdot a + 4a^2 \cdot (-1) + a \cdot a + a \cdot (-1) + 3 \cdot a + 3 \cdot (-1)$

Выполним умножение:

$4a^3 - 4a^2 + a^2 - a + 3a - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$4a^3 + (-4a^2 + a^2) + (-a + 3a) - 3 = 4a^3 - 3a^2 + 2a - 3$

Ответ: $4a^3 - 3a^2 + 2a - 3$

Преобразуем выражение $(3 - x)(3x^2 + x - 4)$ в многочлен.

$(3 - x)(3x^2 + x - 4) = 3 \cdot 3x^2 + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) - x \cdot 3x^2 - x \cdot x - x \cdot (-4)$

Выполним умножение:

$9x^2 + 3x - 12 - 3x^3 - x^2 + 4x$

Приведем подобные слагаемые и расположим их в порядке убывания степеней переменной $x$ (стандартный вид многочлена):

$-3x^3 + (9x^2 - x^2) + (3x + 4x) - 12 = -3x^3 + 8x^2 + 7x - 12$

Ответ: $-3x^3 + 8x^2 + 7x - 12$

687. Упростите выражение:

а) $ (3b - 2)(5 - 2b) + 6b^2; $

б) $ (7y - 4)(2y + 3) - 13y; $

в) $ x^3 - (x^2 - 3x)(x + 3); $

г) $ 5b^3 + (a^2 + 5b)(ab - b^2); $

д) $ (a - b)(a + 2) - (a + b)(a - 2); $

е) $ (x + y)(x - y) - (x - 1)(x - 2). $

а) Чтобы упростить выражение, сначала раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго, а затем приведем подобные слагаемые.
$(3b - 2)(5 - 2b) + 6b^2 = (3b \cdot 5 + 3b \cdot (-2b) - 2 \cdot 5 - 2 \cdot (-2b)) + 6b^2 = (15b - 6b^2 - 10 + 4b) + 6b^2$.
Теперь сгруппируем и сложим подобные члены: $15b + 4b - 6b^2 + 6b^2 - 10 = (15b + 4b) + (-6b^2 + 6b^2) - 10 = 19b - 10$.
Ответ: $19b - 10$

б) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$(7y - 4)(2y + 3) - 13y = (7y \cdot 2y + 7y \cdot 3 - 4 \cdot 2y - 4 \cdot 3) - 13y = (14y^2 + 21y - 8y - 12) - 13y = 14y^2 + 13y - 12 - 13y$.
Сгруппируем и сложим подобные члены: $14y^2 + (13y - 13y) - 12 = 14y^2 - 12$.
Ответ: $14y^2 - 12$

в) Сначала выполним умножение многочленов в скобках.
$x^3 - (x^2 - 3x)(x + 3) = x^3 - (x^2 \cdot x + x^2 \cdot 3 - 3x \cdot x - 3x \cdot 3) = x^3 - (x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x)$.
Приведем подобные слагаемые внутри скобок: $x^3 - (x^3 - 9x)$.
Теперь раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними: $x^3 - x^3 + 9x = 9x$.
Ответ: $9x$

г) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$5b^3 + (a^2 + 5b)(ab - b^2) = 5b^3 + (a^2 \cdot ab + a^2 \cdot (-b^2) + 5b \cdot ab + 5b \cdot (-b^2)) = 5b^3 + a^3b - a^2b^2 + 5ab^2 - 5b^3$.
Сгруппируем и сложим подобные члены: $(5b^3 - 5b^3) + a^3b - a^2b^2 + 5ab^2 = a^3b - a^2b^2 + 5ab^2$.
Ответ: $a^3b - a^2b^2 + 5ab^2$

д) Раскроем скобки в каждом произведении, а затем приведем подобные слагаемые.
$(a - b)(a + 2) - (a + b)(a - 2) = (a^2 + 2a - ab - 2b) - (a^2 - 2a + ab - 2b)$.
Раскроем вторые скобки, меняя знаки всех членов внутри них на противоположные: $a^2 + 2a - ab - 2b - a^2 + 2a - ab + 2b$.
Сгруппируем и сложим подобные члены: $(a^2 - a^2) + (2a + 2a) + (-ab - ab) + (-2b + 2b) = 4a - 2ab$.
Ответ: $4a - 2ab$

е) Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ для первого произведения и правило умножения многочленов для второго.
$(x + y)(x - y) - (x - 1)(x - 2) = (x^2 - y^2) - (x^2 - 2x - x + 2) = (x^2 - y^2) - (x^2 - 3x + 2)$.
Раскроем скобки, меняя знаки: $x^2 - y^2 - x^2 + 3x - 2$.
Приведем подобные слагаемые: $(x^2 - x^2) - y^2 + 3x - 2 = -y^2 + 3x - 2$.
Для удобства запишем в порядке убывания степеней $x$: $3x - y^2 - 2$.
Ответ: $3x - y^2 - 2$

690. Докажите, что при любом значении x:

a) значение выражения $(x - 3)(x + 7) - (x + 5)(x - 1)$ равно $-16;$

б) значение выражения $x^4 - (x^2 - 7)(x^2 + 7)$ равно $49.$

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(x-3)(x+7) - (x+5)(x-1)$ равно -16 при любом значении $x$, необходимо упростить данное выражение.

Для этого раскроем скобки, перемножив многочлены. Сначала выполним первое умножение:

$(x-3)(x+7) = x \cdot x + x \cdot 7 - 3 \cdot x - 3 \cdot 7 = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21$

Теперь выполним второе умножение:

$(x+5)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$

Подставим полученные выражения обратно в исходное и выполним вычитание:

$(x^2 + 4x - 21) - (x^2 + 4x - 5)$

Раскрываем скобки, меняя знаки во втором многочлене на противоположные, и приводим подобные слагаемые:

$x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x + 5 = (x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (-21 + 5) = 0 + 0 - 16 = -16$

В результате упрощения мы получили число -16. Это означает, что значение выражения не зависит от переменной $x$ и всегда равно -16, что и требовалось доказать.

Ответ: -16.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $x^4 - (x^2 - 7)(x^2 + 7)$ равно 49 при любом значении $x$, необходимо упростить данное выражение.

Заметим, что произведение в скобках $(x^2 - 7)(x^2 + 7)$ представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = x^2$ и $b = 7$.

Применим эту формулу:

$(x^2 - 7)(x^2 + 7) = (x^2)^2 - 7^2 = x^4 - 49$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$x^4 - (x^4 - 49)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$x^4 - x^4 + 49 = 49$

В результате упрощения мы получили число 49. Это означает, что значение выражения не зависит от переменной $x$ и всегда равно 49, что и требовалось доказать.

Ответ: 49.

693. Докажите, что значение выражения не зависит от переменной $x$:

а) $(x - 5)(x + 8) - (x + 4)(x - 1);$

б) $x^4 - (x^2 - 1)(x^2 + 1).$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки, перемножив многочлены, и приведем подобные слагаемые.

$(x - 5)(x + 8) - (x + 4)(x - 1)$

Сначала раскроем первую пару скобок:

$(x - 5)(x + 8) = x \cdot x + x \cdot 8 - 5 \cdot x - 5 \cdot 8 = x^2 + 8x - 5x - 40 = x^2 + 3x - 40$

Теперь раскроем вторую пару скобок:

$(x + 4)(x - 1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 4 \cdot x + 4 \cdot (-1) = x^2 - x + 4x - 4 = x^2 + 3x - 4$

Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(x^2 + 3x - 40) - (x^2 + 3x - 4) = x^2 + 3x - 40 - x^2 - 3x + 4$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (3x - 3x) + (-40 + 4) = 0 + 0 - 36 = -36$

Поскольку в результате мы получили число, значение выражения не зависит от переменной $x$.

Ответ: -36.

б) Упростим данное выражение. Заметим, что произведение $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$ является формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x^2$ и $b = 1$.

Применим эту формулу:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$x^4 - (x^4 - 1)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$x^4 - x^4 + 1 = 1$

Поскольку в результате мы получили число, значение выражения не зависит от переменной $x$.

Ответ: 1.