Номер 695, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 695, страница 148.

Условие.

695. Докажите, что при всех целых n значение выражения:

а) $n(n - 1) - (n + 3)(n + 2)$ делится на 6;

б) $n(n + 2) - (n - 7)(n - 5)$ делится на 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Докажем, что при всех целых $n$ значение выражения $n(n - 1) - (n + 3)(n + 2)$ делится на 6.
Для этого упростим выражение. Сначала раскроем скобки:
$n(n - 1) = n^2 - n$
$(n + 3)(n + 2) = n^2 + 2n + 3n + 6 = n^2 + 5n + 6$
Теперь подставим результаты в исходное выражение и приведём подобные слагаемые:
$(n^2 - n) - (n^2 + 5n + 6) = n^2 - n - n^2 - 5n - 6 = -6n - 6$.
Вынесем общий множитель $-6$ за скобки:
$-6(n + 1)$.
Поскольку $n$ — целое число, то $(n + 1)$ также является целым числом. Произведение $-6$ на целое число $(n + 1)$ всегда делится на 6. Таким образом, исходное выражение делится на 6 при любом целом $n$.
Ответ: Выражение тождественно равно $-6(n+1)$, что доказывает его делимость на 6 для любого целого $n$.

б) Докажем, что при всех целых $n$ значение выражения $n(n + 2) - (n - 7)(n - 5)$ делится на 7.
Для этого упростим выражение. Сначала раскроем скобки:
$n(n + 2) = n^2 + 2n$
$(n - 7)(n - 5) = n^2 - 5n - 7n + 35 = n^2 - 12n + 35$
Теперь подставим результаты в исходное выражение и приведём подобные слагаемые:
$(n^2 + 2n) - (n^2 - 12n + 35) = n^2 + 2n - n^2 + 12n - 35 = 14n - 35$.
Вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7(2n - 5)$.
Поскольку $n$ — целое число, то $2n$ — целое число, и $(2n - 5)$ также является целым числом. Произведение 7 на целое число $(2n - 5)$ всегда делится на 7. Таким образом, исходное выражение делится на 7 при любом целом $n$.
Ответ: Выражение тождественно равно $7(2n-5)$, что доказывает его делимость на 7 для любого целого $n$.