Номер 694, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 694, страница 148.

Условие.

694. Докажите, что выражение $(y - 6)(y + 8) - 2(y - 25)$ при любом значении $y$ принимает положительное значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что выражение $(y - 6)(y + 8) - 2(y - 25)$ при любом значении $y$ принимает положительное значение, мы сначала его упростим, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:
$(y - 6)(y + 8) = y \cdot y + y \cdot 8 - 6 \cdot y - 6 \cdot 8 = y^2 + 8y - 6y - 48 = y^2 + 2y - 48$.

2. Раскроем вторую часть выражения, умножив $-2$ на каждый член в скобках:
$-2(y - 25) = -2 \cdot y - 2 \cdot (-25) = -2y + 50$.

3. Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:
$(y^2 + 2y - 48) + (-2y + 50) = y^2 + 2y - 48 - 2y + 50$.

4. Сгруппируем и сократим подобные члены:
$y^2 + (2y - 2y) + (50 - 48) = y^2 + 0 + 2 = y^2 + 2$.

После упрощения исходное выражение приняло вид $y^2 + 2$.

Теперь проанализируем это выражение. Слагаемое $y^2$ представляет собой квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $y^2 \ge 0$ при любом значении $y$.

Наименьшее значение, которое может принять $y^2$, равно $0$ (это происходит, когда $y=0$).

Следовательно, наименьшее значение всего выражения $y^2 + 2$ достигается при $y=0$ и равно $0 + 2 = 2$.

Так как наименьшее значение выражения равно $2$, а $2 > 0$, то выражение $y^2 + 2$ всегда будет положительным при любом возможном значении $y$.

Ответ: После преобразований выражение равно $y^2 + 2$. Поскольку $y^2 \ge 0$ для любого $y$, то $y^2 + 2 \ge 2$. Так как $2 > 0$, то и исходное выражение всегда принимает положительное значение. Что и требовалось доказать.