Номер 693, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 693, страница 148.

Условие.

693. Докажите, что значение выражения не зависит от переменной $x$:

а) $(x - 5)(x + 8) - (x + 4)(x - 1);$

б) $x^4 - (x^2 - 1)(x^2 + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки, перемножив многочлены, и приведем подобные слагаемые.

$(x - 5)(x + 8) - (x + 4)(x - 1)$

Сначала раскроем первую пару скобок:

$(x - 5)(x + 8) = x \cdot x + x \cdot 8 - 5 \cdot x - 5 \cdot 8 = x^2 + 8x - 5x - 40 = x^2 + 3x - 40$

Теперь раскроем вторую пару скобок:

$(x + 4)(x - 1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 4 \cdot x + 4 \cdot (-1) = x^2 - x + 4x - 4 = x^2 + 3x - 4$

Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(x^2 + 3x - 40) - (x^2 + 3x - 4) = x^2 + 3x - 40 - x^2 - 3x + 4$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(x^2 - x^2) + (3x - 3x) + (-40 + 4) = 0 + 0 - 36 = -36$

Поскольку в результате мы получили число, значение выражения не зависит от переменной $x$.

Ответ: -36.

б) Упростим данное выражение. Заметим, что произведение $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$ является формулой разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x^2$ и $b = 1$.

Применим эту формулу:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$x^4 - (x^4 - 1)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$x^4 - x^4 + 1 = 1$

Поскольку в результате мы получили число, значение выражения не зависит от переменной $x$.

Ответ: 1.