Номер 686, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 686, страница 148.

Условие.

686. Запишите в виде многочлена выражение:

а) $(x + 1)(x + 2)(x + 3);$

б) $(a - 1)(a - 4)(a + 5).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

a)

Чтобы записать выражение $(x + 1)(x + 2)(x + 3)$ в виде многочлена, необходимо последовательно перемножить скобки.

1. Сначала перемножим первые две скобки:
$(x + 1)(x + 2) = x \cdot x + x \cdot 2 + 1 \cdot x + 1 \cdot 2 = x^2 + 2x + x + 2$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 + (2x + x) + 2 = x^2 + 3x + 2$

2. Теперь умножим полученный многочлен $(x^2 + 3x + 2)$ на оставшуюся скобку $(x + 3)$. Для этого каждый член первого многочлена умножим на каждый член второго:
$(x^2 + 3x + 2)(x + 3) = x^2 \cdot (x + 3) + 3x \cdot (x + 3) + 2 \cdot (x + 3) = x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 9x + 2x + 6$

3. Снова приведем подобные слагаемые:
$x^3 + (3x^2 + 3x^2) + (9x + 2x) + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$

Ответ: $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$

б)

Чтобы записать выражение $(a - 1)(a - 4)(a + 5)$ в виде многочлена, выполним действия аналогично предыдущему пункту.

1. Сначала перемножим первые две скобки:
$(a - 1)(a - 4) = a \cdot a + a \cdot (-4) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-4) = a^2 - 4a - a + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + (-4a - a) + 4 = a^2 - 5a + 4$

2. Теперь умножим полученный многочлен $(a^2 - 5a + 4)$ на оставшуюся скобку $(a + 5)$:
$(a^2 - 5a + 4)(a + 5) = a^2 \cdot (a + 5) - 5a \cdot (a + 5) + 4 \cdot (a + 5) = a^3 + 5a^2 - 5a^2 - 25a + 4a + 20$

3. Снова приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (5a^2 - 5a^2) + (-25a + 4a) + 20 = a^3 + 0 - 21a + 20 = a^3 - 21a + 20$

Ответ: $a^3 - 21a + 20$