Номер 683, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 683, страница 147.

Условие.

683. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(x^2 + xy - y^2)(x + y)$;
б) $(n^2 - np + p^2)(n - p)$;
в) $(a + x)(a^2 - ax - x^2)$;
г) $(b - c)(b^2 - bc - c^2)$;

д) $(a^2 - 2a + 3)(a - 4)$;
е) $(5x - 2)(x^2 - x - 1)$;
ж) $(2 - 2x + x^2)(x + 5)$;
з) $(3y - 4)(y^2 - y + 1)$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение в виде многочлена, умножим каждый член первого многочлена $(x^2 + xy - y^2)$ на каждый член второго многочлена $(x + y)$ и приведем подобные слагаемые.

$(x^2 + xy - y^2)(x + y) = x^2 \cdot (x + y) + xy \cdot (x + y) - y^2 \cdot (x + y)$

Раскрываем скобки:

$x^3 + x^2y + x^2y + xy^2 - xy^2 - y^3$

Группируем и приводим подобные члены:

$x^3 + (x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 + 2x^2y - y^3$

Ответ: $x^3 + 2x^2y - y^3$

б) Умножим многочлен $(n^2 - np + p^2)$ на двучлен $(n - p)$:

$(n^2 - np + p^2)(n - p) = n \cdot (n^2 - np + p^2) - p \cdot (n^2 - np + p^2)$

Раскрываем скобки:

$n^3 - n^2p + np^2 - n^2p + np^2 - p^3$

Группируем и приводим подобные члены:

$n^3 + (-n^2p - n^2p) + (np^2 + np^2) - p^3 = n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3$

Ответ: $n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3$

в) Умножим двучлен $(a + x)$ на многочлен $(a^2 - ax - x^2)$:

$(a + x)(a^2 - ax - x^2) = a \cdot (a^2 - ax - x^2) + x \cdot (a^2 - ax - x^2)$

Раскрываем скобки:

$a^3 - a^2x - ax^2 + a^2x - ax^2 - x^3$

Группируем и приводим подобные члены:

$a^3 + (-a^2x + a^2x) + (-ax^2 - ax^2) - x^3 = a^3 - 2ax^2 - x^3$

Ответ: $a^3 - 2ax^2 - x^3$

г) Умножим двучлен $(b - c)$ на многочлен $(b^2 - bc - c^2)$:

$(b - c)(b^2 - bc - c^2) = b \cdot (b^2 - bc - c^2) - c \cdot (b^2 - bc - c^2)$

Раскрываем скобки:

$b^3 - b^2c - bc^2 - b^2c + bc^2 + c^3$

Группируем и приводим подобные члены:

$b^3 + (-b^2c - b^2c) + (-bc^2 + bc^2) + c^3 = b^3 - 2b^2c + c^3$

Ответ: $b^3 - 2b^2c + c^3$

д) Умножим многочлен $(a^2 - 2a + 3)$ на двучлен $(a - 4)$:

$(a^2 - 2a + 3)(a - 4) = a^2 \cdot (a - 4) - 2a \cdot (a - 4) + 3 \cdot (a - 4)$

Раскрываем скобки:

$a^3 - 4a^2 - 2a^2 + 8a + 3a - 12$

Группируем и приводим подобные члены:

$a^3 + (-4a^2 - 2a^2) + (8a + 3a) - 12 = a^3 - 6a^2 + 11a - 12$

Ответ: $a^3 - 6a^2 + 11a - 12$

е) Умножим двучлен $(5x - 2)$ на многочлен $(x^2 - x - 1)$:

$(5x - 2)(x^2 - x - 1) = 5x \cdot (x^2 - x - 1) - 2 \cdot (x^2 - x - 1)$

Раскрываем скобки:

$5x^3 - 5x^2 - 5x - 2x^2 + 2x + 2$

Группируем и приводим подобные члены:

$5x^3 + (-5x^2 - 2x^2) + (-5x + 2x) + 2 = 5x^3 - 7x^2 - 3x + 2$

Ответ: $5x^3 - 7x^2 - 3x + 2$

ж) Умножим многочлен $(2 - 2x + x^2)$ на двучлен $(x + 5)$. Для удобства вычислений расположим члены первого многочлена по убыванию степеней: $(x^2 - 2x + 2)$.

$(x^2 - 2x + 2)(x + 5) = x^2 \cdot (x + 5) - 2x \cdot (x + 5) + 2 \cdot (x + 5)$

Раскрываем скобки:

$x^3 + 5x^2 - 2x^2 - 10x + 2x + 10$

Группируем и приводим подобные члены:

$x^3 + (5x^2 - 2x^2) + (-10x + 2x) + 10 = x^3 + 3x^2 - 8x + 10$

Ответ: $x^3 + 3x^2 - 8x + 10$

з) Умножим двучлен $(3y - 4)$ на многочлен $(y^2 - y + 1)$:

$(3y - 4)(y^2 - y + 1) = 3y \cdot (y^2 - y + 1) - 4 \cdot (y^2 - y + 1)$

Раскрываем скобки:

$3y^3 - 3y^2 + 3y - 4y^2 + 4y - 4$

Группируем и приводим подобные члены:

$3y^3 + (-3y^2 - 4y^2) + (3y + 4y) - 4 = 3y^3 - 7y^2 + 7y - 4$

Ответ: $3y^3 - 7y^2 + 7y - 4$