Номер 4, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 10. Произведение одночлена и многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 4, страница 145.

Условие.

4 На примере многочлена $2xy - 6x^2$ объясните, как выполняется разложение на множители вынесением общего множителя за скобки.

Решение 1.

Решение 5.

Разложение многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки — это преобразование, при котором многочлен представляется в виде произведения общего множителя на другой многочлен. Рассмотрим этот процесс на примере выражения $2xy - 6x^2$.

1. Нахождение общего множителя

Общий множитель является наибольшим выражением (одночленом), на которое делится каждый член исходного многочлена. Чтобы его найти, нужно последовательно определить наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и для переменных.

• Коэффициенты: Члены многочлена имеют коэффициенты 2 и 6. Наибольший общий делитель для этих чисел — 2.
• Переменные: Первый член ($2xy$) содержит переменные $x$ в первой степени ($x^1$) и $y$ в первой степени ($y^1$). Второй член ($-6x^2$) содержит переменную $x$ во второй степени ($x^2$). Общей для обоих членов является переменная $x$. Для общего множителя выбирается переменная в наименьшей степени, в которой она встречается в членах многочлена. В данном случае это $x^1$ или просто $x$. Переменная $y$ не является общей, так как она отсутствует во втором члене.

Перемножив найденные общие части, получаем общий множитель для всего многочлена: $2 \cdot x = 2x$.

2. Вынесение общего множителя за скобки

После того как общий множитель $2x$ найден, его выносят за скобки. Для этого каждый член исходного многочлена делят на этот общий множитель, а результаты деления записывают внутри скобок.

• Делим первый член на общий множитель: $\frac{2xy}{2x} = y$.
• Делим второй член на общий множитель: $\frac{-6x^2}{2x} = -3x$.

Теперь записываем итоговое выражение: общий множитель $2x$ ставится перед скобками, а в скобках указывается многочлен, полученный в результате деления: $2x(y - 3x)$.

3. Проверка

Чтобы убедиться в правильности разложения, можно выполнить обратное действие — раскрыть скобки, умножив общий множитель на каждый член в скобках:
$2x(y - 3x) = 2x \cdot y - 2x \cdot 3x = 2xy - 6x^2$.
Результат совпадает с исходным многочленом, что подтверждает верность разложения.

Ответ: Разложение многочлена $2xy - 6x^2$ на множители путем вынесения общего множителя за скобки приводит к выражению $2x(y - 3x)$.