Страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

679. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(m - n)(x + c)$;

б) $(k - p)(k - n)$;

в) $(a + 3)(a - 2)$;

г) $(5 - x)(4 - x)$;

д) $(1 - 2a)(3a + 1)$;

е) $(6m - 3)(2 - 5m)$.

а) Чтобы представить произведение двучленов $(m - n)(x + c)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого двучлена умножить на каждый член второго и сложить полученные результаты (правило умножения многочлена на многочлен).

Выполним умножение:

$(m - n)(x + c) = m \cdot x + m \cdot c + (-n) \cdot x + (-n) \cdot c = mx + mc - nx - nc$

Подобные слагаемые в полученном выражении отсутствуют.

Ответ: $mx + mc - nx - nc$

б) Умножим двучлен $(k - p)$ на двучлен $(k - n)$:

$(k - p)(k - n) = k \cdot k + k \cdot (-n) + (-p) \cdot k + (-p) \cdot (-n) = k^2 - kn - pk + pn$

Подобные слагаемые в полученном выражении отсутствуют.

Ответ: $k^2 - kn - pk + pn$

в) Умножим двучлен $(a + 3)$ на двучлен $(a - 2)$:

$(a + 3)(a - 2) = a \cdot a + a \cdot (-2) + 3 \cdot a + 3 \cdot (-2) = a^2 - 2a + 3a - 6$

Приведем подобные слагаемые ($-2a$ и $3a$):

$a^2 + (-2a + 3a) - 6 = a^2 + a - 6$

Ответ: $a^2 + a - 6$

г) Умножим двучлен $(5 - x)$ на двучлен $(4 - x)$:

$(5 - x)(4 - x) = 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-x) + (-x) \cdot 4 + (-x) \cdot (-x) = 20 - 5x - 4x + x^2$

Приведем подобные слагаемые ($-5x$ и $-4x$):

$20 + (-5x - 4x) + x^2 = 20 - 9x + x^2$

Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной $x$):

$x^2 - 9x + 20$

Ответ: $x^2 - 9x + 20$

д) Умножим двучлен $(1 - 2a)$ на двучлен $(3a + 1)$:

$(1 - 2a)(3a + 1) = 1 \cdot 3a + 1 \cdot 1 + (-2a) \cdot 3a + (-2a) \cdot 1 = 3a + 1 - 6a^2 - 2a$

Приведем подобные слагаемые ($3a$ и $-2a$):

$(3a - 2a) + 1 - 6a^2 = a + 1 - 6a^2$

Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной $a$):

$-6a^2 + a + 1$

Ответ: $-6a^2 + a + 1$

е) Умножим двучлен $(6m - 3)$ на двучлен $(2 - 5m)$:

$(6m - 3)(2 - 5m) = 6m \cdot 2 + 6m \cdot (-5m) + (-3) \cdot 2 + (-3) \cdot (-5m) = 12m - 30m^2 - 6 + 15m$

Приведем подобные слагаемые ($12m$ и $15m$):

$(12m + 15m) - 30m^2 - 6 = 27m - 30m^2 - 6$

Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной $m$):

$-30m^2 + 27m - 6$

Ответ: $-30m^2 + 27m - 6$

682. Замените степень произведением, а затем произведение преобразуйте в многочлен:

а) $(x + 10)^2$;

б) $(1 - y)^2$;

в) $(3a - 1)^2$;

г) $(5 - 6b)^2$.

а) $(x + 10)^2$

1. Заменим степень на произведение. Возвести выражение в квадрат означает умножить его само на себя.

$(x + 10)^2 = (x + 10)(x + 10)$

2. Преобразуем произведение в многочлен. Для этого умножим каждый член первого двучлена на каждый член второго (правило "фонтанчика").

$(x + 10)(x + 10) = x \cdot x + x \cdot 10 + 10 \cdot x + 10 \cdot 10$

Выполним умножения:

$x^2 + 10x + 10x + 100$

3. Приведем подобные слагаемые ($10x$ и $10x$).

$x^2 + (10 + 10)x + 100 = x^2 + 20x + 100$

Ответ: $x^2 + 20x + 100$

б) $(1 - y)^2$

1. Заменим степень на произведение.

$(1 - y)^2 = (1 - y)(1 - y)$

2. Преобразуем произведение в многочлен.

$(1 - y)(1 - y) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-y) - y \cdot 1 - y \cdot (-y)$

Выполним умножения:

$1 - y - y + y^2$

3. Приведем подобные слагаемые ($-y$ и $-y$) и запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней).

$y^2 + (-1 - 1)y + 1 = y^2 - 2y + 1$

Ответ: $y^2 - 2y + 1$

в) $(3a - 1)^2$

1. Заменим степень на произведение.

$(3a - 1)^2 = (3a - 1)(3a - 1)$

2. Преобразуем произведение в многочлен.

$(3a - 1)(3a - 1) = 3a \cdot 3a + 3a \cdot (-1) - 1 \cdot 3a - 1 \cdot (-1)$

Выполним умножения:

$9a^2 - 3a - 3a + 1$

3. Приведем подобные слагаемые ($-3a$ и $-3a$).

$9a^2 + (-3 - 3)a + 1 = 9a^2 - 6a + 1$

Ответ: $9a^2 - 6a + 1$

г) $(5 - 6b)^2$

1. Заменим степень на произведение.

$(5 - 6b)^2 = (5 - 6b)(5 - 6b)$

2. Преобразуем произведение в многочлен.

$(5 - 6b)(5 - 6b) = 5 \cdot 5 + 5 \cdot (-6b) - 6b \cdot 5 - 6b \cdot (-6b)$

Выполним умножения:

$25 - 30b - 30b + 36b^2$

3. Приведем подобные слагаемые ($-30b$ и $-30b$) и запишем многочлен в стандартном виде.

$36b^2 + (-30 - 30)b + 25 = 36b^2 - 60b + 25$

Ответ: $36b^2 - 60b + 25$

677. Выполните умножение:

а) $(x+m)(y+n);$

б) $(a-b)(x+y);$

в) $(a-x)(b-y);$

г) $(x+8)(y-1);$

д) $(b-3)(a-2);$

е) $(-a+y)(-1-y).$

а) Для умножения двух многочленов $(x + m)$ и $(y + n)$ нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить.
$(x + m)(y + n) = x \cdot y + x \cdot n + m \cdot y + m \cdot n = xy + xn + my + mn$.
В выражении нет подобных слагаемых, поэтому это окончательный вид.
Ответ: $xy + xn + my + mn$.

б) Выполним умножение многочлена $(a - b)$ на $(x + y)$, последовательно умножая каждый член первого на каждый член второго.
$(a - b)(x + y) = a \cdot x + a \cdot y + (-b) \cdot x + (-b) \cdot y = ax + ay - bx - by$.
Подобные слагаемые отсутствуют.
Ответ: $ax + ay - bx - by$.

в) Умножим многочлен $(a - x)$ на $(b - y)$. Обращаем внимание на знаки при умножении.
$(a - x)(b - y) = a \cdot b + a \cdot (-y) + (-x) \cdot b + (-x) \cdot (-y) = ab - ay - bx + xy$.
Подобных слагаемых нет.
Ответ: $ab - ay - bx + xy$.

г) Выполним умножение $(x + 8)$ на $(y - 1)$.
$(x + 8)(y - 1) = x \cdot y + x \cdot (-1) + 8 \cdot y + 8 \cdot (-1) = xy - x + 8y - 8$.
Подобных слагаемых нет.
Ответ: $xy - x + 8y - 8$.

д) Умножим многочлен $(b - 3)$ на $(a - 2)$.
$(b - 3)(a - 2) = b \cdot a + b \cdot (-2) + (-3) \cdot a + (-3) \cdot (-2) = ab - 2b - 3a + 6$.
Для стандартной записи можно расположить члены в алфавитном порядке: $ab - 3a - 2b + 6$.
Ответ: $ab - 3a - 2b + 6$.

е) Выполним умножение $(-a + y)$ на $(-1 - y)$.
$(-a + y)(-1 - y) = (-a) \cdot (-1) + (-a) \cdot (-y) + y \cdot (-1) + y \cdot (-y) = a + ay - y - y^2$.
Подобных слагаемых нет.
Ответ: $a + ay - y - y^2$.

680. Запишите в виде многочлена выражение:

а) $(x^2 + y)(x + y^2);$

б) $(m^2 - n)(m^2 + 2n^2);$

в) $(4a^2 + b^2)(3a^2 - b^2);$

г) $(5x^2 - 4x)(x + 1);$

д) $(a - 2)(4a^3 - 3a^2);$

е) $(7p^2 - 2p)(8p - 5).$

а) Чтобы записать выражение $(x^2 + y)(x + y^2)$ в виде многочлена, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и сложить полученные произведения.

$(x^2 + y)(x + y^2) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot y^2 + y \cdot x + y \cdot y^2 = x^3 + x^2y^2 + xy + y^3$.

В полученном выражении нет подобных слагаемых, поэтому это окончательный вид многочлена.

Ответ: $x^3 + x^2y^2 + xy + y^3$.

б) Умножим многочлен $(m^2 - n)$ на многочлен $(m^2 + 2n^2)$ по тому же правилу:

$(m^2 - n)(m^2 + 2n^2) = m^2 \cdot m^2 + m^2 \cdot 2n^2 - n \cdot m^2 - n \cdot 2n^2 = m^4 + 2m^2n^2 - m^2n - 2n^3$.

Подобных слагаемых в полученном выражении нет.

Ответ: $m^4 + 2m^2n^2 - m^2n - 2n^3$.

в) Умножим многочлен $(4a^2 + b^2)$ на многочлен $(3a^2 - b^2)$:

$(4a^2 + b^2)(3a^2 - b^2) = 4a^2 \cdot 3a^2 + 4a^2 \cdot (-b^2) + b^2 \cdot 3a^2 + b^2 \cdot (-b^2) = 12a^4 - 4a^2b^2 + 3a^2b^2 - b^4$.

Приведем подобные слагаемые: $-4a^2b^2 + 3a^2b^2 = -a^2b^2$.

В результате получаем многочлен: $12a^4 - a^2b^2 - b^4$.

Ответ: $12a^4 - a^2b^2 - b^4$.

г) Умножим многочлен $(5x^2 - 4x)$ на многочлен $(x + 1)$:

$(5x^2 - 4x)(x + 1) = 5x^2 \cdot x + 5x^2 \cdot 1 - 4x \cdot x - 4x \cdot 1 = 5x^3 + 5x^2 - 4x^2 - 4x$.

Приведем подобные слагаемые: $5x^2 - 4x^2 = x^2$.

В результате получаем многочлен: $5x^3 + x^2 - 4x$.

Ответ: $5x^3 + x^2 - 4x$.

д) Умножим многочлен $(a - 2)$ на многочлен $(4a^3 - 3a^2)$:

$(a - 2)(4a^3 - 3a^2) = a \cdot 4a^3 + a \cdot (-3a^2) - 2 \cdot 4a^3 - 2 \cdot (-3a^2) = 4a^4 - 3a^3 - 8a^3 + 6a^2$.

Приведем подобные слагаемые: $-3a^3 - 8a^3 = -11a^3$.

В результате получаем многочлен: $4a^4 - 11a^3 + 6a^2$.

Ответ: $4a^4 - 11a^3 + 6a^2$.

е) Умножим многочлен $(7p^2 - 2p)$ на многочлен $(8p - 5)$:

$(7p^2 - 2p)(8p - 5) = 7p^2 \cdot 8p + 7p^2 \cdot (-5) - 2p \cdot 8p - 2p \cdot (-5) = 56p^3 - 35p^2 - 16p^2 + 10p$.

Приведем подобные слагаемые: $-35p^2 - 16p^2 = -51p^2$.

В результате получаем многочлен: $56p^3 - 51p^2 + 10p$.

Ответ: $56p^3 - 51p^2 + 10p$.

683. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $(x^2 + xy - y^2)(x + y)$;
б) $(n^2 - np + p^2)(n - p)$;
в) $(a + x)(a^2 - ax - x^2)$;
г) $(b - c)(b^2 - bc - c^2)$;

д) $(a^2 - 2a + 3)(a - 4)$;
е) $(5x - 2)(x^2 - x - 1)$;
ж) $(2 - 2x + x^2)(x + 5)$;
з) $(3y - 4)(y^2 - y + 1)$.

а) Чтобы представить выражение в виде многочлена, умножим каждый член первого многочлена $(x^2 + xy - y^2)$ на каждый член второго многочлена $(x + y)$ и приведем подобные слагаемые.

$(x^2 + xy - y^2)(x + y) = x^2 \cdot (x + y) + xy \cdot (x + y) - y^2 \cdot (x + y)$

Раскрываем скобки:

$x^3 + x^2y + x^2y + xy^2 - xy^2 - y^3$

Группируем и приводим подобные члены:

$x^3 + (x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 + 2x^2y - y^3$

Ответ: $x^3 + 2x^2y - y^3$

б) Умножим многочлен $(n^2 - np + p^2)$ на двучлен $(n - p)$:

$(n^2 - np + p^2)(n - p) = n \cdot (n^2 - np + p^2) - p \cdot (n^2 - np + p^2)$

Раскрываем скобки:

$n^3 - n^2p + np^2 - n^2p + np^2 - p^3$

Группируем и приводим подобные члены:

$n^3 + (-n^2p - n^2p) + (np^2 + np^2) - p^3 = n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3$

Ответ: $n^3 - 2n^2p + 2np^2 - p^3$

в) Умножим двучлен $(a + x)$ на многочлен $(a^2 - ax - x^2)$:

$(a + x)(a^2 - ax - x^2) = a \cdot (a^2 - ax - x^2) + x \cdot (a^2 - ax - x^2)$

Раскрываем скобки:

$a^3 - a^2x - ax^2 + a^2x - ax^2 - x^3$

Группируем и приводим подобные члены:

$a^3 + (-a^2x + a^2x) + (-ax^2 - ax^2) - x^3 = a^3 - 2ax^2 - x^3$

Ответ: $a^3 - 2ax^2 - x^3$

г) Умножим двучлен $(b - c)$ на многочлен $(b^2 - bc - c^2)$:

$(b - c)(b^2 - bc - c^2) = b \cdot (b^2 - bc - c^2) - c \cdot (b^2 - bc - c^2)$

Раскрываем скобки:

$b^3 - b^2c - bc^2 - b^2c + bc^2 + c^3$

Группируем и приводим подобные члены:

$b^3 + (-b^2c - b^2c) + (-bc^2 + bc^2) + c^3 = b^3 - 2b^2c + c^3$

Ответ: $b^3 - 2b^2c + c^3$

д) Умножим многочлен $(a^2 - 2a + 3)$ на двучлен $(a - 4)$:

$(a^2 - 2a + 3)(a - 4) = a^2 \cdot (a - 4) - 2a \cdot (a - 4) + 3 \cdot (a - 4)$

Раскрываем скобки:

$a^3 - 4a^2 - 2a^2 + 8a + 3a - 12$

Группируем и приводим подобные члены:

$a^3 + (-4a^2 - 2a^2) + (8a + 3a) - 12 = a^3 - 6a^2 + 11a - 12$

Ответ: $a^3 - 6a^2 + 11a - 12$

е) Умножим двучлен $(5x - 2)$ на многочлен $(x^2 - x - 1)$:

$(5x - 2)(x^2 - x - 1) = 5x \cdot (x^2 - x - 1) - 2 \cdot (x^2 - x - 1)$

Раскрываем скобки:

$5x^3 - 5x^2 - 5x - 2x^2 + 2x + 2$

Группируем и приводим подобные члены:

$5x^3 + (-5x^2 - 2x^2) + (-5x + 2x) + 2 = 5x^3 - 7x^2 - 3x + 2$

Ответ: $5x^3 - 7x^2 - 3x + 2$

ж) Умножим многочлен $(2 - 2x + x^2)$ на двучлен $(x + 5)$. Для удобства вычислений расположим члены первого многочлена по убыванию степеней: $(x^2 - 2x + 2)$.

$(x^2 - 2x + 2)(x + 5) = x^2 \cdot (x + 5) - 2x \cdot (x + 5) + 2 \cdot (x + 5)$

Раскрываем скобки:

$x^3 + 5x^2 - 2x^2 - 10x + 2x + 10$

Группируем и приводим подобные члены:

$x^3 + (5x^2 - 2x^2) + (-10x + 2x) + 10 = x^3 + 3x^2 - 8x + 10$

Ответ: $x^3 + 3x^2 - 8x + 10$

з) Умножим двучлен $(3y - 4)$ на многочлен $(y^2 - y + 1)$:

$(3y - 4)(y^2 - y + 1) = 3y \cdot (y^2 - y + 1) - 4 \cdot (y^2 - y + 1)$

Раскрываем скобки:

$3y^3 - 3y^2 + 3y - 4y^2 + 4y - 4$

Группируем и приводим подобные члены:

$3y^3 + (-3y^2 - 4y^2) + (3y + 4y) - 4 = 3y^3 - 7y^2 + 7y - 4$

Ответ: $3y^3 - 7y^2 + 7y - 4$

678. Упростите выражение:

а) $(x + 6)(x + 5);$

б) $(a - 4)(a + 1);$

в) $(2 - y)(y - 8);$

г) $(a - 4)(2a + 1);$

д) $(2y - 1)(3y + 2);$

е) $(5x - 3)(4 - 3x).$

а) Чтобы упростить выражение $(x + 6)(x + 5)$, необходимо перемножить каждый член в первой скобке на каждый член во второй скобке. Этот метод также известен как правило умножения многочленов.
$(x + 6)(x + 5) = x \cdot x + x \cdot 5 + 6 \cdot x + 6 \cdot 5$
Выполняем операции умножения:
$= x^2 + 5x + 6x + 30$
Далее, приводим подобные слагаемые, складывая коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$ (в данном случае $5x$ и $6x$):
$= x^2 + (5 + 6)x + 30 = x^2 + 11x + 30$
Ответ: $x^2 + 11x + 30$.

б) Аналогично упростим выражение $(a - 4)(a + 1)$:
$(a - 4)(a + 1) = a \cdot a + a \cdot 1 + (-4) \cdot a + (-4) \cdot 1$
Выполняем умножение:
$= a^2 + a - 4a - 4$
Приводим подобные слагаемые ($a$ и $-4a$):
$= a^2 + (1 - 4)a - 4 = a^2 - 3a - 4$
Ответ: $a^2 - 3a - 4$.

в) Раскроем скобки в выражении $(2 - y)(y - 8)$:
$(2 - y)(y - 8) = 2 \cdot y + 2 \cdot (-8) + (-y) \cdot y + (-y) \cdot (-8)$
Выполняем умножение:
$= 2y - 16 - y^2 + 8y$
Сгруппируем подобные слагаемые ($2y$ и $8y$) и запишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней переменной $y$:
$= -y^2 + (2y + 8y) - 16 = -y^2 + 10y - 16$
Ответ: $-y^2 + 10y - 16$.

г) Упростим выражение $(a - 4)(2a + 1)$:
$(a - 4)(2a + 1) = a \cdot 2a + a \cdot 1 + (-4) \cdot 2a + (-4) \cdot 1$
Выполняем умножение:
$= 2a^2 + a - 8a - 4$
Приводим подобные слагаемые ($a$ и $-8a$):
$= 2a^2 + (1 - 8)a - 4 = 2a^2 - 7a - 4$
Ответ: $2a^2 - 7a - 4$.

д) Раскроем скобки в выражении $(2y - 1)(3y + 2)$:
$(2y - 1)(3y + 2) = 2y \cdot 3y + 2y \cdot 2 + (-1) \cdot 3y + (-1) \cdot 2$
Выполняем умножение:
$= 6y^2 + 4y - 3y - 2$
Приводим подобные слагаемые ($4y$ и $-3y$):
$= 6y^2 + (4 - 3)y - 2 = 6y^2 + y - 2$
Ответ: $6y^2 + y - 2$.

е) Упростим выражение $(5x - 3)(4 - 3x)$:
$(5x - 3)(4 - 3x) = 5x \cdot 4 + 5x \cdot (-3x) + (-3) \cdot 4 + (-3) \cdot (-3x)$
Выполняем умножение:
$= 20x - 15x^2 - 12 + 9x$
Сгруппируем подобные слагаемые ($20x$ и $9x$) и запишем результат в стандартном виде по убыванию степеней $x$:
$= -15x^2 + (20x + 9x) - 12 = -15x^2 + 29x - 12$
Ответ: $-15x^2 + 29x - 12$.

681. Выполните умножение:

а) $(2x^2 - y)(x^2 + y);$

б) $(7x^2 + a^2)(x^2 - 3a^2);$

в) $(11y^2 - 9)(3y - 2);$

г) $(5a - 3a^3)(4a - 1).$

а) Чтобы умножить многочлен $(2x^2 - y)$ на многочлен $(x^2 + y)$, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго, а затем сложить полученные произведения.

$(2x^2 - y)(x^2 + y) = 2x^2 \cdot x^2 + 2x^2 \cdot y - y \cdot x^2 - y \cdot y = 2x^4 + 2x^2y - x^2y - y^2$

Далее приведем подобные слагаемые. В данном выражении подобными являются $2x^2y$ и $-x^2y$.

$2x^2y - x^2y = (2-1)x^2y = x^2y$

Таким образом, окончательное выражение имеет вид:

$2x^4 + x^2y - y^2$

Ответ: $2x^4 + x^2y - y^2$.

б) Умножим многочлены $(7x^2 + a^2)$ и $(x^2 - 3a^2)$ по тому же правилу.

$(7x^2 + a^2)(x^2 - 3a^2) = 7x^2 \cdot x^2 + 7x^2 \cdot (-3a^2) + a^2 \cdot x^2 + a^2 \cdot (-3a^2)$

Выполним умножение и получим:

$7x^4 - 21a^2x^2 + a^2x^2 - 3a^4$

Приведем подобные слагаемые $-21a^2x^2$ и $a^2x^2$:

$-21a^2x^2 + a^2x^2 = (-21+1)a^2x^2 = -20a^2x^2$

Итоговое выражение:

$7x^4 - 20a^2x^2 - 3a^4$

Ответ: $7x^4 - 20a^2x^2 - 3a^4$.

в) Выполним умножение многочленов $(11y^2 - 9)$ и $(3y - 2)$.

$(11y^2 - 9)(3y - 2) = 11y^2 \cdot 3y + 11y^2 \cdot (-2) - 9 \cdot 3y - 9 \cdot (-2)$

Вычислим произведения:

$33y^3 - 22y^2 - 27y + 18$

В полученном многочлене нет подобных слагаемых, поэтому это является окончательным ответом.

Ответ: $33y^3 - 22y^2 - 27y + 18$.

г) Умножим многочлены $(5a - 3a^3)$ и $(4a - 1)$.

$(5a - 3a^3)(4a - 1) = 5a \cdot 4a + 5a \cdot (-1) - 3a^3 \cdot 4a - 3a^3 \cdot (-1)$

Выполним умножение:

$20a^2 - 5a - 12a^4 + 3a^3$

В этом выражении нет подобных слагаемых. Для приведения многочлена к стандартному виду, расположим его члены в порядке убывания степеней переменной $a$.

$-12a^4 + 3a^3 + 20a^2 - 5a$

Ответ: $-12a^4 + 3a^3 + 20a^2 - 5a$.