Страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

709. Разложите на множители многочлен:

а) $mx + my + 6x + 6y;$

б) $9x + ay + 9y + ax;$

в) $7a - 7b + an - bn;$

г) $ax + ay - x - y;$

д) $1 - bx - x + b;$

е) $xy + 2y - 2x - 4.$

а) Для разложения многочлена $mx + my + 6x + 6y$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(mx + my) + (6x + 6y)$. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m$, а во второй — общий множитель $6$. Получим следующее выражение: $m(x + y) + 6(x + y)$. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — двучлен $(x + y)$. Вынесем его за скобки: $(x + y)(m + 6)$.
Ответ: $(m+6)(x+y)$.

б) В многочлене $9x + ay + 9y + ax$ для удобства сначала перегруппируем слагаемые, объединив члены с одинаковыми переменными: $(9x + ax) + (ay + 9y)$. Теперь из первой группы вынесем за скобки общий множитель $x$, а из второй — общий множитель $y$. Получим: $x(9 + a) + y(a + 9)$. Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($9+a = a+9$), мы можем вынести общий двучлен $(a+9)$ за скобки: $(a + 9)(x + y)$.
Ответ: $(a+9)(x+y)$.

в) Чтобы разложить на множители многочлен $7a - 7b + an - bn$, сгруппируем попарно его члены: $(7a - 7b) + (an - bn)$. Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $7$, а из второй — общий множитель $n$. В результате получим: $7(a - b) + n(a - b)$. Общим множителем для обоих слагаемых является выражение $(a - b)$. Вынесем его за скобки и получим окончательный результат: $(a - b)(7 + n)$.
Ответ: $(a-b)(7+n)$.

г) Для разложения многочлена $ax + ay - x - y$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два и последние два члена: $(ax + ay) + (-x - y)$. Из первой группы вынесем за скобки $a$, а из второй группы вынесем $-1$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе. Получаем: $a(x + y) - 1(x + y)$. Теперь выносим общий множитель $(x+y)$ за скобки: $(x + y)(a - 1)$.
Ответ: $(a-1)(x+y)$.

д) В выражении $1 - bx - x + b$ перегруппируем слагаемые для удобства разложения: $(1 - x) + (b - bx)$. Первый двучлен $(1-x)$ оставим без изменений. Из второго двучлена $(b - bx)$ вынесем за скобки общий множитель $b$. Получим: $(1 - x) + b(1 - x)$. Теперь мы видим общий множитель $(1 - x)$, который можно вынести за скобки: $(1 - x)(1 + b)$.
Ответ: $(1-x)(1+b)$.

е) Разложим на множители многочлен $xy + 2y - 2x - 4$ методом группировки. Сгруппируем члены попарно: $(xy + 2y) + (-2x - 4)$. Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $y$, а из второй — общий множитель $-2$. Это даст нам: $y(x + 2) - 2(x + 2)$. Теперь общим множителем является двучлен $(x + 2)$. Выносим его за скобки и получаем: $(x + 2)(y - 2)$.
Ответ: $(x+2)(y-2)$.

712. Представьте в виде произведения многочлен:

а) $mn - mk + xk - xn;$

б) $x^2 + 7x - ax - 7a;$

в) $3m - mk + 3k - k^2;$

г) $xk - xy - x^2 + yk.$

а) Чтобы представить многочлен $mn - mk + xk - xn$ в виде произведения, применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$mn - mk + xk - xn = (mn - mk) + (xk - xn)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m$, а во второй — общий множитель $x$:
$m(n - k) + x(k - n)$
Выражения в скобках $(n - k)$ и $(k - n)$ являются противоположными. Чтобы получить одинаковые скобки, изменим знак перед вторым слагаемым и знаки в его скобках:
$m(n - k) - x(n - k)$
Теперь общий множитель $(n - k)$ можно вынести за скобки:
$(n - k)(m - x)$
Ответ: $(n - k)(m - x)$

б) Чтобы представить многочлен $x^2 + 7x - ax - 7a$ в виде произведения, сгруппируем его члены. Сгруппируем первый со вторым и третий с четвертым:
$x^2 + 7x - ax - 7a = (x^2 + 7x) + (-ax - 7a)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — общий множитель $-a$:
$x(x + 7) - a(x + 7)$
Теперь общий множитель $(x + 7)$ можно вынести за скобки:
$(x + 7)(x - a)$
Ответ: $(x + 7)(x - a)$

в) Чтобы представить многочлен $3m - mk + 3k - k^2$ в виде произведения, сгруппируем его члены. Сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым:
$3m - mk + 3k - k^2 = (3m + 3k) + (-mk - k^2)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3$, а во второй — общий множитель $-k$:
$3(m + k) - k(m + k)$
Теперь общий множитель $(m + k)$ можно вынести за скобки:
$(m + k)(3 - k)$
Ответ: $(m + k)(3 - k)$

г) Чтобы представить многочлен $xk - xy - x^2 + yk$ в виде произведения, переставим слагаемые и сгруппируем их. Сгруппируем первый член с четвертым, а второй с третьим:
$xk - xy - x^2 + yk = (xk + yk) + (-xy - x^2)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $k$, а во второй — общий множитель $-x$:
$k(x + y) - x(y + x)$
Так как $y+x = x+y$, то общий множитель $(x + y)$ можно вынести за скобки:
$(x + y)(k - x)$
Ответ: $(x + y)(k - x)$

715. Докажите тождество:

а) $ax - y + x - ay = (x - y)(a + 1)$;

б) $ax - 2by + ay - 2bx = (a - 2b)(x + y)$.

а) Для доказательства тождества $ax - y + x - ay = (x - y)(a + 1)$ преобразуем его левую часть методом группировки и вынесения общего множителя за скобки.

Сначала сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители:

$ax - y + x - ay = (ax + x) - (ay + y)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(a + 1) - y(a + 1)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки:

$(x - y)(a + 1)$

Мы получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, левая часть равна правой.

Ответ: Тождество $ax - y + x - ay = (x - y)(a + 1)$ доказано.

б) Для доказательства тождества $ax - 2by + ay - 2bx = (a - 2b)(x + y)$ также преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые с общими множителями:

$ax - 2by + ay - 2bx = (ax + ay) - (2bx + 2by)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой скобки вынесем $a$, а из второй $2b$:

$a(x + y) - 2b(x + y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:

$(a - 2b)(x + y)$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество $ax - 2by + ay - 2bx = (a - 2b)(x + y)$ доказано.

710. Разложите на множители многочлен:

а) $ab - 8a - bx + 8x;$

б) $ax - b + bx - a;$

в) $ax - y + x - ay;$

г) $ax - 2bx + ay - 2by.$

а) Для разложения многочлена $ab - 8a - bx + 8x$ на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(ab - 8a) + (-bx + 8x)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$. Во второй группе вынесем за скобки $-x$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе.

$a(b - 8) - x(b - 8)$

Теперь у нас есть общий множитель $(b - 8)$, который мы также можем вынести за скобки:

$(a - x)(b - 8)$

Ответ: $(a - x)(b - 8)$

б) Рассмотрим многочлен $ax - b + bx - a$. Для удобства переставим слагаемые, сгруппировав члены с переменной $x$ и члены, содержащие переменные $a$ и $b$.

$ax + bx - a - b = (ax + bx) - (a + b)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $x$.

$x(a + b) - 1(a + b)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + b)$:

$(a + b)(x - 1)$

Ответ: $(a + b)(x - 1)$

в) Разложим на множители многочлен $ax - y + x - ay$. Переставим слагаемые для удобства группировки.

$ax - ay + x - y$

Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым:

$(ax - ay) + (x - y)$

Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $a$.

$a(x - y) + 1(x - y)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - y)$:

$(x - y)(a + 1)$

Ответ: $(a + 1)(x - y)$

г) Рассмотрим многочлен $ax - 2bx + ay - 2by$. Применим метод группировки. Сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым.

$(ax + ay) + (-2bx - 2by)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй группе вынесем за скобки $-2b$.

$a(x + y) - 2b(x + y)$

Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$, который выносим за скобки:

$(x + y)(a - 2b)$

Ответ: $(a - 2b)(x + y)$

713. Найдите значение выражения:

a) $p^2q^2 + pq - q^3 - p^3$ при $p = 0,5$ и $q = -0,5;$

б) $3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy$ при $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}.$

а) Чтобы найти значение выражения $p^2q^2 + pq - q^3 - p^3$ при $p = 0,5$ и $q = -0,5$, сначала упростим его, сгруппировав слагаемые. Это позволит сделать вычисления проще.
Сгруппируем члены следующим образом: $(p^2q^2 + pq) - (p^3 + q^3)$.
В первой группе вынесем общий множитель $pq$. Вторую группу представим как сумму кубов, используя формулу $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:
$pq(pq+1) - (p+q)(p^2-pq+q^2)$
Теперь подставим заданные значения $p=0,5$ и $q=-0,5$. Вычислим значения $p+q$ и $pq$ отдельно:
$p+q = 0,5 + (-0,5) = 0$
$pq = 0,5 \cdot (-0,5) = -0,25$
Подставим эти результаты в упрощенное выражение. Так как $p+q=0$, второе слагаемое полностью обнуляется:
$(-0,25) \cdot (-0,25+1) - (0) \cdot (p^2-pq+q^2) = -0,25 \cdot 0,75 - 0 = -0,1875$
Ответ: $-0,1875$.

б) Чтобы найти значение выражения $3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy$ при $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$, сначала упростим его методом группировки. Для удобства переставим слагаемые:
$(3x^3 - 6x^2y^2) + (xy - 2y^3)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$3x^2(x - 2y^2) + y(x - 2y^2)$
Теперь видим общий множитель $(x - 2y^2)$, который тоже можно вынести за скобку:
$(3x^2 + y)(x - 2y^2)$
Теперь подставим значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$ в полученное выражение. Вычислим значение каждого множителя в скобках отдельно.
Первый множитель: $3x^2 + y = 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{1}{2} = \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{8}{6} + \frac{3}{6} = \frac{11}{6}$.
Второй множитель: $x - 2y^2 = \frac{2}{3} - 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$.
Осталось найти произведение полученных значений:
$\frac{11}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{11}{36}$.
Ответ: $\frac{11}{36}$.

708. Представьте в виде произведения многочленов выражение:

а) $x(b+c) + 3b + 3c;$

б) $y(a-c) + 5a - 5c;$

в) $p(c-d) + c - d;$

г) $a(p-q) + q - p.$

а)

Исходное выражение: $x(b + c) + 3b + 3c$.

Сначала сгруппируем последние два слагаемых и вынесем за скобки их общий множитель, который равен 3:

$3b + 3c = 3(b + c)$

Теперь исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$x(b + c) + 3(b + c)$

Мы видим, что оба слагаемых $x(b + c)$ и $3(b + c)$ имеют общий множитель $(b + c)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(b + c)(x + 3)$

Таким образом, мы представили выражение в виде произведения двух многочленов.

Ответ: $(b + c)(x + 3)$

б)

Исходное выражение: $y(a - c) + 5a - 5c$.

Аналогично предыдущему примеру, сгруппируем последние два слагаемых и вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5a - 5c = 5(a - c)$

Подставим это в исходное выражение:

$y(a - c) + 5(a - c)$

Теперь у нас есть общий множитель $(a - c)$, который мы можем вынести за скобки:

$(a - c)(y + 5)$

Ответ: $(a - c)(y + 5)$

в)

Исходное выражение: $p(c - d) + c - d$.

В этом выражении слагаемые $c - d$ можно представить как произведение $1 \cdot (c - d)$. Тогда выражение примет вид:

$p(c - d) + 1 \cdot (c - d)$

Теперь хорошо видно, что общий множитель здесь — это $(c - d)$. Выносим его за скобки:

$(c - d)(p + 1)$

Ответ: $(c - d)(p + 1)$

г)

Исходное выражение: $a(p - q) + q - p$.

Заметим, что выражение $q - p$ является противоположным выражению $p - q$. Мы можем вынести -1 за скобки, чтобы получить одинаковые множители:

$q - p = -(-q + p) = -(p - q)$

Теперь подставим это преобразование в исходное выражение:

$a(p - q) - (p - q)$

Представим второе слагаемое как $1 \cdot (p - q)$:

$a(p - q) - 1 \cdot (p - q)$

Вынесем общий множитель $(p - q)$ за скобки:

$(p - q)(a - 1)$

Ответ: $(p - q)(a - 1)$

711. Разложите на множители многочлен:

а) $x^3 + x^2 + x + 1$;

б) $y^5 - y^3 - y^2 + 1$;

в) $a^4 + 2a^3 - a - 2$;

г) $b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6$;

д) $a^2 - ab - 8a + 8b$;

е) $ab - 3b + b^2 - 3a$;

ж) $11x - xy + 11y - x^2$;

з) $kn - mn - n^2 + mk$.

а) $x^3 + x^2 + x + 1$

Для разложения на множители применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2) + (x + 1)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x + 1) + 1(x + 1)$
Теперь вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:
$(x + 1)(x^2 + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x^2 + 1)$

б) $y^5 - y^3 - y^2 + 1$

Сгруппируем слагаемые попарно и вынесем общий множитель:
$y^5 - y^3 - y^2 + 1 = (y^5 - y^3) - (y^2 - 1) = y^3(y^2 - 1) - 1(y^2 - 1) = (y^2 - 1)(y^3 - 1)$
Полученные множители можно разложить дальше, используя формулы разности квадратов и разности кубов:
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$
$y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1)$
Собираем все вместе:
$(y - 1)(y + 1)(y - 1)(y^2 + y + 1) = (y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1)$

Ответ: $(y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1)$

в) $a^4 + 2a^3 - a - 2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$a^4 + 2a^3 - a - 2 = (a^4 + 2a^3) - (a + 2) = a^3(a + 2) - 1(a + 2) = (a + 2)(a^3 - 1)$
Разложим второй множитель по формуле разности кубов:
$(a + 2)(a - 1)(a^2 + a + 1)$

Ответ: $(a + 2)(a - 1)(a^2 + a + 1)$

г) $b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6$

Применим метод группировки:
$b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6 = (b^6 - 3b^4) - (2b^2 - 6)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$b^4(b^2 - 3) - 2(b^2 - 3)$
Вынесем общий множитель $(b^2 - 3)$:
$(b^2 - 3)(b^4 - 2)$

Ответ: $(b^2 - 3)(b^4 - 2)$

д) $a^2 - ab - 8a + 8b$

Сгруппируем слагаемые:
$a^2 - ab - 8a + 8b = (a^2 - ab) - (8a - 8b)$
Вынесем общие множители:
$a(a - b) - 8(a - b)$
Вынесем общий множитель $(a - b)$:
$(a - b)(a - 8)$

Ответ: $(a - 8)(a - b)$

е) $ab - 3b + b^2 - 3a$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения:
$ab - 3a + b^2 - 3b = (ab - 3a) + (b^2 - 3b)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a(b - 3) + b(b - 3)$
Вынесем общий множитель $(b - 3)$:
$(a + b)(b - 3)$

Ответ: $(a + b)(b - 3)$

ж) $11x - xy + 11y - x^2$

Перегруппируем слагаемые:
$11x - x^2 + 11y - xy = (11x - x^2) + (11y - xy)$
Вынесем общие множители:
$x(11 - x) + y(11 - x)$
Вынесем общий множитель $(11 - x)$:
$(11 - x)(x + y)$

Ответ: $(11 - x)(x + y)$

з) $kn - mn - n^2 + mk$

Перегруппируем слагаемые:
$kn - n^2 + mk - mn = (kn - n^2) + (mk - mn)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$n(k - n) + m(k - n)$
Вынесем общий множитель $(k - n)$:
$(k - n)(n + m)$

Ответ: $(k - n)(m + n)$

714. Чему равно значение выражения:

a) $2a + ac^2 - a^2c - 2c$ при $a = 1 \frac{1}{3}$ и $c = -1 \frac{2}{3}$;

б) $x^2y - y + xy^2 - x$ при $x = 4$ и $y = 0,25$?

а) Для того чтобы найти значение выражения $2a + ac^2 - a^2c - 2c$ при $a = 1\frac{1}{3}$ и $c = -1\frac{2}{3}$, сначала упростим его, сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители за скобки.
Сгруппируем слагаемые: $(2a - 2c) + (ac^2 - a^2c)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $2(a - c) - ac(a - c)$.
Теперь вынесем общий множитель $(a - c)$: $(a - c)(2 - ac)$.
Преобразуем заданные значения в неправильные дроби:
$a = 1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$c = -1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$
Теперь подставим эти значения в упрощенное выражение.
Найдем значение первого множителя $(a - c)$:
$a - c = \frac{4}{3} - (-\frac{5}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{4 + 5}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
Найдем значение второго множителя $(2 - ac)$:
Сначала вычислим произведение $ac$: $ac = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{5}{3}) = -\frac{20}{9}$.
Теперь вычислим $2 - ac$: $2 - (-\frac{20}{9}) = 2 + \frac{20}{9} = \frac{18}{9} + \frac{20}{9} = \frac{38}{9}$.
Перемножим полученные значения: $3 \cdot \frac{38}{9} = \frac{3 \cdot 38}{9} = \frac{38}{3} = 12\frac{2}{3}$.
Ответ: $12\frac{2}{3}$.

б) Для того чтобы найти значение выражения $x^2y - y + xy^2 - x$ при $x = 4$ и $y = 0,25$, сначала упростим его.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2y + xy^2) - (x + y)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $xy(x + y) - 1(x + y)$.
Теперь вынесем общий множитель $(x + y)$: $(xy - 1)(x + y)$.
Представим десятичную дробь $y = 0,25$ в виде обыкновенной дроби: $y = \frac{1}{4}$.
Подставим значения $x=4$ и $y=\frac{1}{4}$ в упрощенное выражение.
Найдем значение первого множителя $(xy - 1)$:
$xy - 1 = 4 \cdot \frac{1}{4} - 1 = 1 - 1 = 0$.
Так как один из множителей равен нулю, то все произведение равно нулю:
$(xy - 1)(x + y) = 0 \cdot (4 + \frac{1}{4}) = 0$.
Ответ: 0.