Номер 711, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Разложение многочлена на множители способом группировки. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 711, страница 151.

Условие.

711. Разложите на множители многочлен:

а) $x^3 + x^2 + x + 1$;

б) $y^5 - y^3 - y^2 + 1$;

в) $a^4 + 2a^3 - a - 2$;

г) $b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6$;

д) $a^2 - ab - 8a + 8b$;

е) $ab - 3b + b^2 - 3a$;

ж) $11x - xy + 11y - x^2$;

з) $kn - mn - n^2 + mk$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^3 + x^2 + x + 1$

Для разложения на множители применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2) + (x + 1)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x + 1) + 1(x + 1)$
Теперь вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:
$(x + 1)(x^2 + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x^2 + 1)$

б) $y^5 - y^3 - y^2 + 1$

Сгруппируем слагаемые попарно и вынесем общий множитель:
$y^5 - y^3 - y^2 + 1 = (y^5 - y^3) - (y^2 - 1) = y^3(y^2 - 1) - 1(y^2 - 1) = (y^2 - 1)(y^3 - 1)$
Полученные множители можно разложить дальше, используя формулы разности квадратов и разности кубов:
$y^2 - 1 = (y - 1)(y + 1)$
$y^3 - 1 = (y - 1)(y^2 + y + 1)$
Собираем все вместе:
$(y - 1)(y + 1)(y - 1)(y^2 + y + 1) = (y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1)$

Ответ: $(y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1)$

в) $a^4 + 2a^3 - a - 2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$a^4 + 2a^3 - a - 2 = (a^4 + 2a^3) - (a + 2) = a^3(a + 2) - 1(a + 2) = (a + 2)(a^3 - 1)$
Разложим второй множитель по формуле разности кубов:
$(a + 2)(a - 1)(a^2 + a + 1)$

Ответ: $(a + 2)(a - 1)(a^2 + a + 1)$

г) $b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6$

Применим метод группировки:
$b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6 = (b^6 - 3b^4) - (2b^2 - 6)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$b^4(b^2 - 3) - 2(b^2 - 3)$
Вынесем общий множитель $(b^2 - 3)$:
$(b^2 - 3)(b^4 - 2)$

Ответ: $(b^2 - 3)(b^4 - 2)$

д) $a^2 - ab - 8a + 8b$

Сгруппируем слагаемые:
$a^2 - ab - 8a + 8b = (a^2 - ab) - (8a - 8b)$
Вынесем общие множители:
$a(a - b) - 8(a - b)$
Вынесем общий множитель $(a - b)$:
$(a - b)(a - 8)$

Ответ: $(a - 8)(a - b)$

е) $ab - 3b + b^2 - 3a$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения:
$ab - 3a + b^2 - 3b = (ab - 3a) + (b^2 - 3b)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a(b - 3) + b(b - 3)$
Вынесем общий множитель $(b - 3)$:
$(a + b)(b - 3)$

Ответ: $(a + b)(b - 3)$

ж) $11x - xy + 11y - x^2$

Перегруппируем слагаемые:
$11x - x^2 + 11y - xy = (11x - x^2) + (11y - xy)$
Вынесем общие множители:
$x(11 - x) + y(11 - x)$
Вынесем общий множитель $(11 - x)$:
$(11 - x)(x + y)$

Ответ: $(11 - x)(x + y)$

з) $kn - mn - n^2 + mk$

Перегруппируем слагаемые:
$kn - n^2 + mk - mn = (kn - n^2) + (mk - mn)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$n(k - n) + m(k - n)$
Вынесем общий множитель $(k - n)$:
$(k - n)(n + m)$

Ответ: $(k - n)(m + n)$