Номер 709, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Разложение многочлена на множители способом группировки. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 709, страница 151.

Условие.

709. Разложите на множители многочлен:

а) $mx + my + 6x + 6y;$

б) $9x + ay + 9y + ax;$

в) $7a - 7b + an - bn;$

г) $ax + ay - x - y;$

д) $1 - bx - x + b;$

е) $xy + 2y - 2x - 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения многочлена $mx + my + 6x + 6y$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $(mx + my) + (6x + 6y)$. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m$, а во второй — общий множитель $6$. Получим следующее выражение: $m(x + y) + 6(x + y)$. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — двучлен $(x + y)$. Вынесем его за скобки: $(x + y)(m + 6)$.
Ответ: $(m+6)(x+y)$.

б) В многочлене $9x + ay + 9y + ax$ для удобства сначала перегруппируем слагаемые, объединив члены с одинаковыми переменными: $(9x + ax) + (ay + 9y)$. Теперь из первой группы вынесем за скобки общий множитель $x$, а из второй — общий множитель $y$. Получим: $x(9 + a) + y(a + 9)$. Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($9+a = a+9$), мы можем вынести общий двучлен $(a+9)$ за скобки: $(a + 9)(x + y)$.
Ответ: $(a+9)(x+y)$.

в) Чтобы разложить на множители многочлен $7a - 7b + an - bn$, сгруппируем попарно его члены: $(7a - 7b) + (an - bn)$. Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $7$, а из второй — общий множитель $n$. В результате получим: $7(a - b) + n(a - b)$. Общим множителем для обоих слагаемых является выражение $(a - b)$. Вынесем его за скобки и получим окончательный результат: $(a - b)(7 + n)$.
Ответ: $(a-b)(7+n)$.

г) Для разложения многочлена $ax + ay - x - y$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два и последние два члена: $(ax + ay) + (-x - y)$. Из первой группы вынесем за скобки $a$, а из второй группы вынесем $-1$, чтобы получить в скобках такое же выражение, как и в первой группе. Получаем: $a(x + y) - 1(x + y)$. Теперь выносим общий множитель $(x+y)$ за скобки: $(x + y)(a - 1)$.
Ответ: $(a-1)(x+y)$.

д) В выражении $1 - bx - x + b$ перегруппируем слагаемые для удобства разложения: $(1 - x) + (b - bx)$. Первый двучлен $(1-x)$ оставим без изменений. Из второго двучлена $(b - bx)$ вынесем за скобки общий множитель $b$. Получим: $(1 - x) + b(1 - x)$. Теперь мы видим общий множитель $(1 - x)$, который можно вынести за скобки: $(1 - x)(1 + b)$.
Ответ: $(1-x)(1+b)$.

е) Разложим на множители многочлен $xy + 2y - 2x - 4$ методом группировки. Сгруппируем члены попарно: $(xy + 2y) + (-2x - 4)$. Из первой группы вынесем за скобки общий множитель $y$, а из второй — общий множитель $-2$. Это даст нам: $y(x + 2) - 2(x + 2)$. Теперь общим множителем является двучлен $(x + 2)$. Выносим его за скобки и получаем: $(x + 2)(y - 2)$.
Ответ: $(x+2)(y-2)$.