Номер 702, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 702, страница 149.

Условие.

702. Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 $ \text{см}^2 $. Найдите длину и ширину первоначального прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $l$ см – первоначальная длина прямоугольника, а $w$ см – его первоначальная ширина.

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(l + w)$. Согласно условию, периметр равен 70 см. Составим первое уравнение:
$2(l + w) = 70$
Разделив обе части уравнения на 2, получим:
$l + w = 35$

Площадь первоначального прямоугольника равна $S_1 = l \cdot w$.

Если длину уменьшить на 5 см, она станет $(l - 5)$ см. Если ширину увеличить на 5 см, она станет $(w + 5)$ см. Новая площадь прямоугольника будет равна $S_2 = (l - 5)(w + 5)$.

По условию, новая площадь на 50 см² больше первоначальной, то есть $S_2 = S_1 + 50$. Составим второе уравнение:
$(l - 5)(w + 5) = lw + 50$
Раскроем скобки в левой части:
$lw + 5l - 5w - 25 = lw + 50$
Вычтем $lw$ из обеих частей уравнения и перенесем постоянные члены в правую часть:
$5l - 5w = 50 + 25$
$5l - 5w = 75$
Разделим обе части на 5:
$l - w = 15$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} l + w = 35 \\ l - w = 15 \end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы найти $l$:
$(l + w) + (l - w) = 35 + 15$
$2l = 50$
$l = \frac{50}{2}$
$l = 25$

Теперь подставим найденное значение $l=25$ в первое уравнение системы ($l + w = 35$), чтобы найти $w$:
$25 + w = 35$
$w = 35 - 25$
$w = 10$

Таким образом, первоначальная длина прямоугольника равна 25 см, а его первоначальная ширина — 10 см.

Ответ: длина 25 см, ширина 10 см.