Номер 699, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 699, страница 149.

Условие.

699. Докажите, что:

a) при любом натуральном значении n значение выражения $n(n + 5) - (n - 3)(n + 2)$ кратно 6;

б) при любом натуральном значении n, большем 2, значение выражения $(n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5)$ кратно 12.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения $n(n + 5) - (n - 3)(n + 2)$ кратно 6, необходимо упростить это выражение. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
Сначала раскроем скобки в каждом из двух произведений:
$n(n + 5) = n \cdot n + n \cdot 5 = n^2 + 5n$
$(n - 3)(n + 2) = n \cdot n + 2 \cdot n - 3 \cdot n - 3 \cdot 2 = n^2 + 2n - 3n - 6 = n^2 - n - 6$
Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:
$(n^2 + 5n) - (n^2 - n - 6) = n^2 + 5n - n^2 + n + 6$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + (5n + n) + 6 = 6n + 6$
Вынесем общий множитель 6 за скобки:
$6(n + 1)$
Поскольку $n$ по условию является натуральным числом (то есть $n \ge 1$), то $n+1$ также является натуральным числом ($n+1 \ge 2$). Произведение числа 6 на любое натуральное число всегда делится на 6. Таким образом, исходное выражение кратно 6 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что при любом натуральном значении $n$, большем 2, значение выражения $(n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5)$ кратно 12, необходимо упростить это выражение.
Первое произведение $(n - 1)(n + 1)$ можно раскрыть по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$
Раскроем скобки во втором произведении:
$(n - 7)(n - 5) = n \cdot n - 5 \cdot n - 7 \cdot n + (-7) \cdot (-5) = n^2 - 5n - 7n + 35 = n^2 - 12n + 35$
Подставим полученные выражения в исходное:
$(n^2 - 1) - (n^2 - 12n + 35) = n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35$
Приведем подобные слагаемые:
$(n^2 - n^2) + 12n + (-1 - 35) = 12n - 36$
Вынесем общий множитель 12 за скобки:
$12(n - 3)$
По условию $n$ — натуральное число и $n > 2$, то есть $n \ge 3$. Это означает, что множитель $(n - 3)$ является целым неотрицательным числом ($0, 1, 2, \dots$). Произведение числа 12 на любое целое число всегда кратно 12. Следовательно, исходное выражение кратно 12 при любом натуральном $n > 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.