Номер 696, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 696, страница 149.

Условие.

696. Пусть $a, b, c$ и $d$ — четыре последовательных нечётных числа.

Докажите, что разность $cd - ab$ кратна 16.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $a, b, c, d$ — четыре последовательных нечётных числа. Представим первое число $a$ в общем виде для нечётного числа: $a = 2k+1$, где $k$ — любое целое число.

Поскольку числа являются последовательными нечётными, каждое следующее число на 2 больше предыдущего. Тогда мы можем выразить все четыре числа через $k$:
$a = 2k + 1$
$b = a + 2 = (2k + 1) + 2 = 2k + 3$
$c = b + 2 = (2k + 3) + 2 = 2k + 5$
$d = c + 2 = (2k + 5) + 2 = 2k + 7$

Теперь необходимо доказать, что разность $cd - ab$ кратна 16. Подставим в это выражение наши представления чисел:
$cd - ab = (2k + 5)(2k + 7) - (2k + 1)(2k + 3)$

Раскроем скобки для каждого произведения.
Сначала для $cd$:
$(2k + 5)(2k + 7) = 4k^2 + 14k + 10k + 35 = 4k^2 + 24k + 35$
Теперь для $ab$:
$(2k + 1)(2k + 3) = 4k^2 + 6k + 2k + 3 = 4k^2 + 8k + 3$

Вычислим разность полученных выражений:
$cd - ab = (4k^2 + 24k + 35) - (4k^2 + 8k + 3)$
$cd - ab = 4k^2 + 24k + 35 - 4k^2 - 8k - 3$
Приведем подобные члены:
$cd - ab = (4k^2 - 4k^2) + (24k - 8k) + (35 - 3)$
$cd - ab = 16k + 32$

В полученном выражении $16k + 32$ вынесем общий множитель 16 за скобки:
$16k + 32 = 16(k + 2)$

Так как $k$ — целое число, то и $k+2$ является целым числом. Произведение 16 на любое целое число всегда будет делиться на 16 без остатка. Следовательно, разность $cd - ab$ всегда кратна 16, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.