Номер 690, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 690, страница 148.

Условие.

690. Докажите, что при любом значении x:

a) значение выражения $(x - 3)(x + 7) - (x + 5)(x - 1)$ равно $-16;$

б) значение выражения $x^4 - (x^2 - 7)(x^2 + 7)$ равно $49.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $(x-3)(x+7) - (x+5)(x-1)$ равно -16 при любом значении $x$, необходимо упростить данное выражение.

Для этого раскроем скобки, перемножив многочлены. Сначала выполним первое умножение:

$(x-3)(x+7) = x \cdot x + x \cdot 7 - 3 \cdot x - 3 \cdot 7 = x^2 + 7x - 3x - 21 = x^2 + 4x - 21$

Теперь выполним второе умножение:

$(x+5)(x-1) = x \cdot x + x \cdot (-1) + 5 \cdot x + 5 \cdot (-1) = x^2 - x + 5x - 5 = x^2 + 4x - 5$

Подставим полученные выражения обратно в исходное и выполним вычитание:

$(x^2 + 4x - 21) - (x^2 + 4x - 5)$

Раскрываем скобки, меняя знаки во втором многочлене на противоположные, и приводим подобные слагаемые:

$x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x + 5 = (x^2 - x^2) + (4x - 4x) + (-21 + 5) = 0 + 0 - 16 = -16$

В результате упрощения мы получили число -16. Это означает, что значение выражения не зависит от переменной $x$ и всегда равно -16, что и требовалось доказать.

Ответ: -16.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $x^4 - (x^2 - 7)(x^2 + 7)$ равно 49 при любом значении $x$, необходимо упростить данное выражение.

Заметим, что произведение в скобках $(x^2 - 7)(x^2 + 7)$ представляет собой формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = x^2$ и $b = 7$.

Применим эту формулу:

$(x^2 - 7)(x^2 + 7) = (x^2)^2 - 7^2 = x^4 - 49$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$x^4 - (x^4 - 49)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$x^4 - x^4 + 49 = 49$

В результате упрощения мы получили число 49. Это означает, что значение выражения не зависит от переменной $x$ и всегда равно 49, что и требовалось доказать.

Ответ: 49.