Номер 687, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 687, страница 148.

Условие.

687. Упростите выражение:

а) $ (3b - 2)(5 - 2b) + 6b^2; $

б) $ (7y - 4)(2y + 3) - 13y; $

в) $ x^3 - (x^2 - 3x)(x + 3); $

г) $ 5b^3 + (a^2 + 5b)(ab - b^2); $

д) $ (a - b)(a + 2) - (a + b)(a - 2); $

е) $ (x + y)(x - y) - (x - 1)(x - 2). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы упростить выражение, сначала раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго, а затем приведем подобные слагаемые.
$(3b - 2)(5 - 2b) + 6b^2 = (3b \cdot 5 + 3b \cdot (-2b) - 2 \cdot 5 - 2 \cdot (-2b)) + 6b^2 = (15b - 6b^2 - 10 + 4b) + 6b^2$.
Теперь сгруппируем и сложим подобные члены: $15b + 4b - 6b^2 + 6b^2 - 10 = (15b + 4b) + (-6b^2 + 6b^2) - 10 = 19b - 10$.
Ответ: $19b - 10$

б) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$(7y - 4)(2y + 3) - 13y = (7y \cdot 2y + 7y \cdot 3 - 4 \cdot 2y - 4 \cdot 3) - 13y = (14y^2 + 21y - 8y - 12) - 13y = 14y^2 + 13y - 12 - 13y$.
Сгруппируем и сложим подобные члены: $14y^2 + (13y - 13y) - 12 = 14y^2 - 12$.
Ответ: $14y^2 - 12$

в) Сначала выполним умножение многочленов в скобках.
$x^3 - (x^2 - 3x)(x + 3) = x^3 - (x^2 \cdot x + x^2 \cdot 3 - 3x \cdot x - 3x \cdot 3) = x^3 - (x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x)$.
Приведем подобные слагаемые внутри скобок: $x^3 - (x^3 - 9x)$.
Теперь раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними: $x^3 - x^3 + 9x = 9x$.
Ответ: $9x$

г) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$5b^3 + (a^2 + 5b)(ab - b^2) = 5b^3 + (a^2 \cdot ab + a^2 \cdot (-b^2) + 5b \cdot ab + 5b \cdot (-b^2)) = 5b^3 + a^3b - a^2b^2 + 5ab^2 - 5b^3$.
Сгруппируем и сложим подобные члены: $(5b^3 - 5b^3) + a^3b - a^2b^2 + 5ab^2 = a^3b - a^2b^2 + 5ab^2$.
Ответ: $a^3b - a^2b^2 + 5ab^2$

д) Раскроем скобки в каждом произведении, а затем приведем подобные слагаемые.
$(a - b)(a + 2) - (a + b)(a - 2) = (a^2 + 2a - ab - 2b) - (a^2 - 2a + ab - 2b)$.
Раскроем вторые скобки, меняя знаки всех членов внутри них на противоположные: $a^2 + 2a - ab - 2b - a^2 + 2a - ab + 2b$.
Сгруппируем и сложим подобные члены: $(a^2 - a^2) + (2a + 2a) + (-ab - ab) + (-2b + 2b) = 4a - 2ab$.
Ответ: $4a - 2ab$

е) Упростим выражение, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ для первого произведения и правило умножения многочленов для второго.
$(x + y)(x - y) - (x - 1)(x - 2) = (x^2 - y^2) - (x^2 - 2x - x + 2) = (x^2 - y^2) - (x^2 - 3x + 2)$.
Раскроем скобки, меняя знаки: $x^2 - y^2 - x^2 + 3x - 2$.
Приведем подобные слагаемые: $(x^2 - x^2) - y^2 + 3x - 2 = -y^2 + 3x - 2$.
Для удобства запишем в порядке убывания степеней $x$: $3x - y^2 - 2$.
Ответ: $3x - y^2 - 2$