Номер 718, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

30. Разложение многочлена на множители способом группировки. Параграф 11. Произведение многочлена. Глава 4. Многочлены - номер 718, страница 152.

Условие.

718. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^2 + 6x + 5$;

б) $x^2 - x - 6$;

в) $a^2 - 5a + 4$;

г) $a^2 - 6a - 16.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы разложить на множители трёхчлен $x^2 + 6x + 5$, необходимо найти два числа, произведение которых равно свободному члену (5), а сумма равна коэффициенту при $x$ (6). Этими числами являются 1 и 5, так как $1 \cdot 5 = 5$ и $1 + 5 = 6$.
Теперь можно представить средний член $6x$ в виде суммы $x + 5x$ и выполнить группировку:
$x^2 + 6x + 5 = x^2 + x + 5x + 5 = (x^2 + x) + (5x + 5) = x(x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x + 5)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 5)$.

б) Для разложения трёхчлена $x^2 - x - 6$ ищем два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Такими числами являются 2 и -3, поскольку $2 \cdot (-3) = -6$ и $2 + (-3) = -1$.
Представим $-x$ в виде суммы $2x - 3x$ и сгруппируем слагаемые:
$x^2 - x - 6 = x^2 + 2x - 3x - 6 = (x^2 + 2x) - (3x + 6) = x(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x - 3)$.
Ответ: $(x + 2)(x - 3)$.

в) Чтобы разложить на множители трёхчлен $a^2 - 5a + 4$, найдём два числа, произведение которых равно 4, а сумма равна -5. Это числа -1 и -4, так как $(-1) \cdot (-4) = 4$ и $(-1) + (-4) = -5$.
Представим средний член $-5a$ как $-a - 4a$ и выполним группировку:
$a^2 - 5a + 4 = a^2 - a - 4a + 4 = (a^2 - a) - (4a - 4) = a(a - 1) - 4(a - 1) = (a - 1)(a - 4)$.
Ответ: $(a - 1)(a - 4)$.

г) Для разложения трёхчлена $a^2 - 6a - 16$ найдём два числа, произведение которых равно -16, а сумма равна -6. Это числа 2 и -8, поскольку $2 \cdot (-8) = -16$ и $2 + (-8) = -6$.
Представим $-6a$ как $2a - 8a$ и сгруппируем:
$a^2 - 6a - 16 = a^2 + 2a - 8a - 16 = (a^2 + 2a) - (8a + 16) = a(a + 2) - 8(a + 2) = (a + 2)(a - 8)$.
Ответ: $(a + 2)(a - 8)$.