Страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

718. Разложите на множители трёхчлен:

а) $x^2 + 6x + 5$;

б) $x^2 - x - 6$;

в) $a^2 - 5a + 4$;

г) $a^2 - 6a - 16.$

а) Чтобы разложить на множители трёхчлен $x^2 + 6x + 5$, необходимо найти два числа, произведение которых равно свободному члену (5), а сумма равна коэффициенту при $x$ (6). Этими числами являются 1 и 5, так как $1 \cdot 5 = 5$ и $1 + 5 = 6$.
Теперь можно представить средний член $6x$ в виде суммы $x + 5x$ и выполнить группировку:
$x^2 + 6x + 5 = x^2 + x + 5x + 5 = (x^2 + x) + (5x + 5) = x(x + 1) + 5(x + 1) = (x + 1)(x + 5)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 5)$.

б) Для разложения трёхчлена $x^2 - x - 6$ ищем два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна -1. Такими числами являются 2 и -3, поскольку $2 \cdot (-3) = -6$ и $2 + (-3) = -1$.
Представим $-x$ в виде суммы $2x - 3x$ и сгруппируем слагаемые:
$x^2 - x - 6 = x^2 + 2x - 3x - 6 = (x^2 + 2x) - (3x + 6) = x(x + 2) - 3(x + 2) = (x + 2)(x - 3)$.
Ответ: $(x + 2)(x - 3)$.

в) Чтобы разложить на множители трёхчлен $a^2 - 5a + 4$, найдём два числа, произведение которых равно 4, а сумма равна -5. Это числа -1 и -4, так как $(-1) \cdot (-4) = 4$ и $(-1) + (-4) = -5$.
Представим средний член $-5a$ как $-a - 4a$ и выполним группировку:
$a^2 - 5a + 4 = a^2 - a - 4a + 4 = (a^2 - a) - (4a - 4) = a(a - 1) - 4(a - 1) = (a - 1)(a - 4)$.
Ответ: $(a - 1)(a - 4)$.

г) Для разложения трёхчлена $a^2 - 6a - 16$ найдём два числа, произведение которых равно -16, а сумма равна -6. Это числа 2 и -8, поскольку $2 \cdot (-8) = -16$ и $2 + (-8) = -6$.
Представим $-6a$ как $2a - 8a$ и сгруппируем:
$a^2 - 6a - 16 = a^2 + 2a - 8a - 16 = (a^2 + 2a) - (8a + 16) = a(a + 2) - 8(a + 2) = (a + 2)(a - 8)$.
Ответ: $(a + 2)(a - 8)$.

721. Запишите в виде выражения:

а) квадрат разности x и y: $(x - y)^2$

б) сумму числа 3 и произведения a и b: $3 + ab$

в) разность числа 7 и удвоенного произведения a и b: $7 - 2ab$

а) квадрат разности x и y;

Чтобы записать это выражение, сначала определим "разность $x$ и $y$". Это действие записывается как $x - y$. Затем, "квадрат" этой разности означает, что все выражение $(x - y)$ необходимо возвести во вторую степень.

Ответ: $(x - y)^2$

б) сумму числа 3 и произведения a и b;

Сначала найдем "произведение $a$ и $b$". Оно записывается как $a \cdot b$ или просто $ab$. Далее, "сумма числа 3 и произведения" означает, что к числу 3 нужно прибавить полученное произведение.

Ответ: $3 + ab$

в) разность числа 7 и удвоенного произведения a и b.

Разберем выражение по частям. "Произведение $a$ и $b$" — это $ab$. "Удвоенное произведение" означает, что его нужно умножить на 2, то есть $2ab$. Наконец, "разность числа 7 и удвоенного произведения" означает, что из 7 нужно вычесть $2ab$.

Ответ: $7 - 2ab$

716. Представьте в виде произведения:

а) $ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd$;

б) $ax^2 + ay^2 - bx^2 - by^2 + b - a$;

в) $an^2 + cn^2 - ap + ap^2 - cp + cp^2$;

г) $xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a$.

а) Для того чтобы представить выражение $ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd$ в виде произведения, сгруппируем его члены. Удобно сгруппировать слагаемые, содержащие общий множитель.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(ac^2 - ad) + (c^3 - cd) - (bc^2 - bd)$.
Вынесем общие множители из каждой группы:
$a(c^2 - d) + c(c^2 - d) - b(c^2 - d)$
Теперь мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(c^2 - d)$. Вынесем его за скобки:
$(a + c - b)(c^2 - d)$
Ответ: $(a + c - b)(c^2 - d)$

б) Рассмотрим выражение $ax^2 + ay^2 - bx^2 - by^2 + b - a$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $a$, и слагаемые, содержащие переменную $b$:
$(ax^2 + ay^2 - a) + (-bx^2 - by^2 + b)$
Вынесем из первой группы общий множитель $a$, а из второй группы $-b$:
$a(x^2 + y^2 - 1) - b(x^2 + y^2 - 1)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x^2 + y^2 - 1)$:
$(a - b)(x^2 + y^2 - 1)$
Ответ: $(a - b)(x^2 + y^2 - 1)$

в) Представим в виде произведения выражение $an^2 + cn^2 - ap + ap^2 - cp + cp^2$.
Сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными множителями:
$(an^2 + cn^2) - (ap + cp) + (ap^2 + cp^2)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$n^2(a + c) - p(a + c) + p^2(a + c)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + c)$:
$(a + c)(n^2 - p + p^2)$
Ответ: $(a + c)(n^2 - p + p^2)$

г) Разложим на множители выражение $xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a$.
Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $y^2$, и остальные слагаемые:
$(xy^2 - by^2 + y^2) + (-ax + ab - a)$
Вынесем из первой группы общий множитель $y^2$, а из второй $-a$:
$y^2(x - b + 1) - a(x - b + 1)$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x - b + 1)$:
$(y^2 - a)(x - b + 1)$
Ответ: $(y^2 - a)(x - b + 1)$

719. Число коров в стаде возросло на 60 голов, а в связи с улучшением кормовой базы удой молока от одной коровы возрос в среднем с 12,8 л в день до 15 л. Сколько коров стало в стаде, если ежедневно стали получать на 1340 л молока больше, чем раньше?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это первоначальное количество коров в стаде.

Изначально средний удой молока от одной коровы составлял 12,8 л в день. Следовательно, общий ежедневный удой со всего стада был равен:

$V_1 = 12.8 \cdot x$ (литров)

Число коров в стаде возросло на 60 голов. Новое количество коров стало:

$x + 60$ (голов)

Средний удой молока от одной коровы увеличился до 15 л в день. Новый общий ежедневный удой со всего стада стал равен:

$V_2 = 15 \cdot (x + 60)$ (литров)

По условию задачи, ежедневно стали получать на 1340 л молока больше, чем раньше. Это означает, что разница между новым и старым удоем составляет 1340 л:

$V_2 - V_1 = 1340$

Подставим выражения для $V_1$ и $V_2$ в это уравнение:

$15 \cdot (x + 60) - 12.8 \cdot x = 1340$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$15x + 15 \cdot 60 - 12.8x = 1340$

$15x + 900 - 12.8x = 1340$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые:

$(15 - 12.8)x = 1340 - 900$

$2.2x = 440$

Найдем $x$:

$x = \frac{440}{2.2} = \frac{4400}{22} = 200$

Таким образом, первоначальное количество коров в стаде ($x$) было 200.

В задаче спрашивается, сколько коров стало в стаде. Для этого к первоначальному количеству прибавим 60:

$200 + 60 = 260$ (коров)

Ответ: 260.

717. Разложите на множители многочлен:

а) $x^2y+x+xy^2+y+2xy+2;$

б) $x^2-xy+x-xy^2+y^3-y^2.$

а) Чтобы разложить на множители многочлен $x^2y + x + xy^2 + y + 2xy + 2$, воспользуемся методом группировки. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$(x^2y + x) + (xy^2 + y) + (2xy + 2)$

Из каждой группы вынесем общий множитель за скобки. Из первой скобки выносим $x$, из второй $y$, из третьей $2$:

$x(xy + 1) + y(xy + 1) + 2(xy + 1)$

Теперь видно, что все три получившихся слагаемых имеют общий множитель $(xy + 1)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:

$(xy + 1)(x + y + 2)$

Ответ: $(xy + 1)(x + y + 2)$

б) Чтобы разложить на множители многочлен $x^2 - xy + x - xy^2 + y^3 - y^2$, также применим метод группировки. Сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых:

$(x^2 - xy + x) + (-xy^2 + y^3 - y^2)$

Вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой группы вынесем $x$, а из второй группы вынесем $-y^2$ (чтобы получить в скобках то же выражение, что и в первой группе):

$x(x - y + 1) - y^2(x - y + 1)$

Теперь у получившихся слагаемых есть общий множитель $(x - y + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(x - y + 1)(x - y^2)$

Ответ: $(x - y + 1)(x - y^2)$

720. Решите уравнение:

a) $4 - x(x + 8) = 11 - x^2;$

б) $4x(3x - 1) - 2x(6x + 8) = 5.$

a) $4 - x(x + 8) = 11 - x^2$

Для решения этого уравнения сначала раскроем скобки в левой части:

$4 - x \cdot x - x \cdot 8 = 11 - x^2$

$4 - x^2 - 8x = 11 - x^2$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$-x^2 - 8x + x^2 = 11 - 4$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-x^2$ и $+x^2$ в левой части взаимно уничтожаются.

$-8x = 7$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-8$.

$x = \frac{7}{-8}$

$x = -\frac{7}{8}$

Ответ: $x = -\frac{7}{8}$.

б) $4x(3x - 1) - 2x(6x + 8) = 5$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительный закон умножения.

$(4x \cdot 3x - 4x \cdot 1) - (2x \cdot 6x + 2x \cdot 8) = 5$

$12x^2 - 4x - (12x^2 + 16x) = 5$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные.

$12x^2 - 4x - 12x^2 - 16x = 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые $12x^2$ и $-12x^2$ взаимно уничтожаются.

$(12x^2 - 12x^2) + (-4x - 16x) = 5$

$-20x = 5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-20$.

$x = \frac{5}{-20}$

Сократим полученную дробь на 5.

$x = -\frac{1}{4}$

Ответ: $x = -\frac{1}{4}$.

3. На примере многочлена $ab - 2b + 5a - 10$ объясните, как выполняется разложение многочлена на множители способом группировки.

Разложение многочлена на множители способом группировки — это метод, при котором члены многочлена объединяют в группы таким образом, чтобы после вынесения общих множителей из каждой группы появился новый, общий для всех групп множитель (обычно в виде многочлена в скобках), который затем также выносится за скобки.

Рассмотрим, как это работает на примере многочлена $ab - 2b + 5a - 10$.

Шаг 1. Группировка слагаемых

Сначала нужно объединить члены многочлена в группы (обычно попарно) так, чтобы у слагаемых в каждой группе был общий множитель. Порядок слагаемых можно менять. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье — с четвертым.

$(ab - 2b) + (5a - 10)$

Шаг 2. Вынесение общего множителя в каждой группе

Теперь из каждой группы вынесем за скобки общий множитель.

• В первой группе $(ab - 2b)$ общий множитель — это $b$. Выносим его: $b(a - 2)$.
• Во второй группе $(5a - 10)$ общий множитель — это $5$. Выносим его: $5(a - 2)$.

После вынесения множителей исходное выражение принимает вид:

$b(a - 2) + 5(a - 2)$

Шаг 3. Вынесение общего многочленного множителя

Мы видим, что оба слагаемых $b(a-2)$ и $5(a-2)$ имеют одинаковый множитель — выражение в скобках $(a - 2)$. Это наш новый общий множитель. Вынесем его за скобки. Множители, которые останутся от каждого слагаемого ($b$ и $+5$), образуют вторую скобку.

$(a - 2)(b + 5)$

Таким образом, мы разложили многочлен на произведение двух множителей: $(a - 2)$ и $(b + 5)$.

Примечание: Результат не зависит от первоначального выбора групп. Если бы мы сгруппировали иначе, например, $(ab + 5a) + (-2b - 10)$, то получили бы $a(b + 5) - 2(b + 5)$, что после вынесения общего множителя $(b + 5)$ также дало бы $(b + 5)(a - 2)$.

Ответ: Разложение многочлена $ab - 2b + 5a - 10$ на множители выполняется путем группировки его членов, например, $(ab - 2b) + (5a - 10)$, вынесения общего множителя из каждой группы, $b(a - 2) + 5(a - 2)$, и последующего вынесения общего многочленного множителя $(a - 2)$, что приводит к итоговому произведению $(a - 2)(b + 5)$.

1 Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

Правило умножения многочлена на многочлен гласит: чтобы найти произведение двух многочленов, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а затем полученные произведения сложить (с учетом их знаков).

Этот процесс можно описать следующими шагами:

1. Берем первый член первого многочлена и умножаем его последовательно на каждый член второго многочлена.
2. Берем второй член первого многочлена и также умножаем его на каждый член второго многочлена.
3. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока каждый член первого многочлена не будет умножен на каждый член второго.
4. Складываем все полученные в результате умножения одночлены.
5. Приводим подобные слагаемые в итоговом многочлене, чтобы представить его в стандартном виде.

Математически для двух двучленов $(a + b)$ и $(c + d)$ это правило выглядит так:
$(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Пример. Умножим многочлен $(2x - 5)$ на $(3x + 4)$.

1. Умножаем каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$(2x - 5)(3x + 4) = (2x) \cdot (3x) + (2x) \cdot (4) + (-5) \cdot (3x) + (-5) \cdot (4)$

2. Вычисляем произведения:
$= 6x^2 + 8x - 15x - 20$

3. Приводим подобные слагаемые ($8x$ и $-15x$):
$= 6x^2 + (8-15)x - 20 = 6x^2 - 7x - 20$

Результатом умножения является многочлен $6x^2 - 7x - 20$.

Ответ: Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

2. Представьте в виде многочлена произведение многочленов $x - 2y$ и $xy + 4$.

Чтобы представить произведение многочленов $(x - 2y)$ и $(xy + 4)$ в виде многочлена, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения. Этот процесс основан на распределительном свойстве умножения.

Запишем произведение и раскроем скобки:

$(x - 2y)(xy + 4) = x \cdot (xy + 4) - 2y \cdot (xy + 4)$

Теперь выполним умножение для каждого слагаемого:

1. Умножим $x$ на многочлен $(xy + 4)$:

$x \cdot xy + x \cdot 4 = x^2y + 4x$

2. Умножим $-2y$ на многочлен $(xy + 4)$:

$(-2y) \cdot xy + (-2y) \cdot 4 = -2xy^2 - 8y$

3. Сложим полученные результаты:

$(x^2y + 4x) + (-2xy^2 - 8y) = x^2y + 4x - 2xy^2 - 8y$

Полученный многочлен $x^2y + 4x - 2xy^2 - 8y$ не содержит подобных членов, поэтому дальнейшее упрощение невозможно. Для стандартного вида многочлена его члены можно упорядочить, например, по убыванию степеней. Полученный вид $x^2y - 2xy^2 + 4x - 8y$ является стандартным.

Ответ: $x^2y - 2xy^2 + 4x - 8y$