Страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

748. Если к данному числу приписать справа цифру 9 и к полученному числу прибавить удвоенное данное число, то сумма будет равна 633. Найдите данное число.

Пусть искомое число равно $x$.

Если к данному числу $x$ приписать справа цифру 9, то получится новое число. Это действие математически эквивалентно умножению исходного числа на 10 и прибавлению 9. Таким образом, полученное число будет равно $10x + 9$.

Удвоенное данное число равно $2x$.

По условию задачи, если к полученному числу ($10x + 9$) прибавить удвоенное данное число ($2x$), то сумма будет равна 633. Составим и решим уравнение:

$(10x + 9) + 2x = 633$

Сложим слагаемые с переменной $x$:

$12x + 9 = 633$

Перенесем число 9 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$12x = 633 - 9$

$12x = 624$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 12:

$x = \frac{624}{12}$

$x = 52$

Таким образом, данное число равно 52.

Проверка:
1. Данное число — 52.
2. Приписываем справа цифру 9, получаем число 529.
3. Удвоенное данное число: $2 \cdot 52 = 104$.
4. Складываем полученное число и удвоенное данное: $529 + 104 = 633$.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 52

749. К трёхзначному числу слева приписали цифру 5 и из полученного четырёхзначного числа вычли 3032. Получилась разность, которая больше трёхзначного числа в 9 раз. Найдите это трёхзначное число.

Пусть искомое трёхзначное число равно $x$.

Когда к трёхзначному числу слева приписывают цифру 5, получается новое четырёхзначное число. Это новое число можно представить в виде выражения $5000 + x$. Например, если бы исходное число было 123, то новое число было бы 5123, что равно $5000 + 123$.

Далее, из полученного четырёхзначного числа вычитают 3032. Результат этой операции: $(5000 + x) - 3032$.

По условию задачи, эта разность в 9 раз больше исходного трёхзначного числа. Это значит, что результат равен $9x$.

На основании этого мы можем составить и решить уравнение: $$(5000 + x) - 3032 = 9x$$

Сначала упростим левую часть уравнения: $$1968 + x = 9x$$

Теперь перенесём все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону. Для этого вычтем $x$ из обеих частей уравнения: $$1968 = 9x - x$$ $$1968 = 8x$$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на 8: $$x = \frac{1968}{8}$$ $$x = 246$$

Таким образом, искомое трёхзначное число — это 246.

Выполним проверку, чтобы убедиться в правильности решения.
1. К числу 246 приписываем слева цифру 5, получаем 5246.
2. Из числа 5246 вычитаем 3032: $5246 - 3032 = 2214$.
3. Умножаем исходное число 246 на 9: $246 \times 9 = 2214$.
Поскольку $2214 = 2214$, условие задачи выполняется.

Ответ: 246

751. Преобразуйте произведение в многочлен:

а) $(x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4)(-0,2xy^2);$

б) $(b^7 - \frac{1}{2}b^5c + \frac{2}{3}b^3c^3 - \frac{2}{5}c^5)(-30bc^3);$

в) $(\frac{1}{3}a^5b - ab + \frac{1}{7})(-21a^2b^2);$

г) $(0,5x^7y^{12} - 6xy - 1)(-\frac{1}{6}xy).$

а) Чтобы преобразовать произведение в многочлен, умножим каждый член многочлена $x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4$ на одночлен $-0,2xy^2$.
$(x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4)(-0,2xy^2) = x^4 \cdot (-0,2xy^2) + 7x^2y^2 \cdot (-0,2xy^2) + (-5y^4) \cdot (-0,2xy^2)$.
Выполним умножение для каждого слагаемого, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
1. $x^4 \cdot (-0,2xy^2) = -0,2 \cdot x^{4+1} \cdot y^2 = -0,2x^5y^2$.
2. $7x^2y^2 \cdot (-0,2xy^2) = 7 \cdot (-0,2) \cdot x^{2+1} \cdot y^{2+2} = -1,4x^3y^4$.
3. $-5y^4 \cdot (-0,2xy^2) = -5 \cdot (-0,2) \cdot x \cdot y^{4+2} = 1xy^6 = xy^6$.
Сложим полученные результаты:
$-0,2x^5y^2 - 1,4x^3y^4 + xy^6$.
Ответ: $-0,2x^5y^2 - 1,4x^3y^4 + xy^6$.

б) Умножим каждый член многочлена $(b^7 - \frac{1}{2}b^5c + \frac{2}{3}b^3c^3 - \frac{2}{5}c^5)$ на одночлен $(-30bc^3)$.
$(b^7 - \frac{1}{2}b^5c + \frac{2}{3}b^3c^3 - \frac{2}{5}c^5)(-30bc^3) = b^7 \cdot (-30bc^3) - \frac{1}{2}b^5c \cdot (-30bc^3) + \frac{2}{3}b^3c^3 \cdot (-30bc^3) - \frac{2}{5}c^5 \cdot (-30bc^3)$.
Выполним умножение для каждого слагаемого:
1. $b^7 \cdot (-30bc^3) = -30b^{7+1}c^3 = -30b^8c^3$.
2. $-\frac{1}{2}b^5c \cdot (-30bc^3) = (-\frac{1}{2}) \cdot (-30) \cdot b^{5+1}c^{1+3} = 15b^6c^4$.
3. $\frac{2}{3}b^3c^3 \cdot (-30bc^3) = \frac{2}{3} \cdot (-30) \cdot b^{3+1}c^{3+3} = -20b^4c^6$.
4. $-\frac{2}{5}c^5 \cdot (-30bc^3) = (-\frac{2}{5}) \cdot (-30) \cdot bc^{5+3} = 12bc^8$.
Сложим полученные результаты:
$-30b^8c^3 + 15b^6c^4 - 20b^4c^6 + 12bc^8$.
Ответ: $-30b^8c^3 + 15b^6c^4 - 20b^4c^6 + 12bc^8$.

в) Умножим каждый член многочлена $(\frac{1}{3}a^5b - ab + \frac{1}{7})$ на одночлен $(-21a^2b^2)$.
$(\frac{1}{3}a^5b - ab + \frac{1}{7})(-21a^2b^2) = \frac{1}{3}a^5b \cdot (-21a^2b^2) - ab \cdot (-21a^2b^2) + \frac{1}{7} \cdot (-21a^2b^2)$.
Выполним умножение для каждого слагаемого:
1. $\frac{1}{3}a^5b \cdot (-21a^2b^2) = \frac{-21}{3}a^{5+2}b^{1+2} = -7a^7b^3$.
2. $-ab \cdot (-21a^2b^2) = 21a^{1+2}b^{1+2} = 21a^3b^3$.
3. $\frac{1}{7} \cdot (-21a^2b^2) = \frac{-21}{7}a^2b^2 = -3a^2b^2$.
Сложим полученные результаты:
$-7a^7b^3 + 21a^3b^3 - 3a^2b^2$.
Ответ: $-7a^7b^3 + 21a^3b^3 - 3a^2b^2$.

г) Умножим каждый член многочлена $(0,5x^7y^{12} - 6xy - 1)$ на одночлен $(-\frac{1}{6}xy)$. Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$.
$(\frac{1}{2}x^7y^{12} - 6xy - 1)(-\frac{1}{6}xy) = \frac{1}{2}x^7y^{12} \cdot (-\frac{1}{6}xy) - 6xy \cdot (-\frac{1}{6}xy) - 1 \cdot (-\frac{1}{6}xy)$.
Выполним умножение для каждого слагаемого:
1. $\frac{1}{2}x^7y^{12} \cdot (-\frac{1}{6}xy) = -\frac{1}{2 \cdot 6}x^{7+1}y^{12+1} = -\frac{1}{12}x^8y^{13}$.
2. $-6xy \cdot (-\frac{1}{6}xy) = (-6) \cdot (-\frac{1}{6}) \cdot x^{1+1}y^{1+1} = 1x^2y^2 = x^2y^2$.
3. $-1 \cdot (-\frac{1}{6}xy) = \frac{1}{6}xy$.
Сложим полученные результаты:
$-\frac{1}{12}x^8y^{13} + x^2y^2 + \frac{1}{6}xy$.
Ответ: $-\frac{1}{12}x^8y^{13} + x^2y^2 + \frac{1}{6}xy$.

754. Решите уравнение:

а) $5\left(y+\frac{2}{3}\right)-3=4\left(3y-\frac{1}{2}\right);$

б) $7(2y - 2) - 2(3y - 3,5) = 9;$

в) $21,5(4x - 1) + 8(12,5 - 9x) = 82;$

г) $12,5(3x - 1) + 132,4 = (2,8 - 4x) \cdot 0,5;$

д) $\frac{3x+6}{2} - \frac{7x-14}{3} - \frac{x+1}{9} = 0;$

е) $\frac{1-6x}{2} - \frac{2x+19}{12} = \frac{23-2x}{3}.$

а) Дано уравнение $5(y + \frac{2}{3}) - 3 = 4(3y - \frac{1}{2})$.
Первым шагом раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив множитель перед скобкой на каждое слагаемое внутри скобок:
$5 \cdot y + 5 \cdot \frac{2}{3} - 3 = 4 \cdot 3y - 4 \cdot \frac{1}{2}$
$5y + \frac{10}{3} - 3 = 12y - 2$
Теперь упростим левую часть, приведя числа к общему знаменателю: $3 = \frac{9}{3}$.
$5y + \frac{10}{3} - \frac{9}{3} = 12y - 2$
$5y + \frac{1}{3} = 12y - 2$
Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $5y$ вправо и $-2$ влево, изменив их знаки:
$\frac{1}{3} + 2 = 12y - 5y$
Выполним сложение и вычитание: $2 = \frac{6}{3}$.
$\frac{1}{3} + \frac{6}{3} = 7y$
$\frac{7}{3} = 7y$
Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 7:
$y = \frac{7}{3} \div 7 = \frac{7}{3 \cdot 7} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $y = \frac{1}{3}$.

б) Дано уравнение $7(2y - 2) - 2(3y - 3,5) = 9$.
Раскроем скобки:
$7 \cdot 2y - 7 \cdot 2 - 2 \cdot 3y - 2 \cdot (-3,5) = 9$
$14y - 14 - 6y + 7 = 9$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(14y - 6y) + (-14 + 7) = 9$
$8y - 7 = 9$
Перенесем $-7$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$8y = 9 + 7$
$8y = 16$
Разделим обе части уравнения на 8:
$y = \frac{16}{8} = 2$.
Ответ: $y = 2$.

в) Дано уравнение $21,5(4x - 1) + 8(12,5 - 9x) = 82$.
Раскроем скобки:
$21,5 \cdot 4x - 21,5 \cdot 1 + 8 \cdot 12,5 - 8 \cdot 9x = 82$
$86x - 21,5 + 100 - 72x = 82$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(86x - 72x) + (-21,5 + 100) = 82$
$14x + 78,5 = 82$
Перенесем $78,5$ в правую часть:
$14x = 82 - 78,5$
$14x = 3,5$
Найдем $x$, разделив обе части на 14:
$x = \frac{3,5}{14} = \frac{35}{140} = \frac{1}{4} = 0,25$.
Ответ: $x = 0,25$.

г) Дано уравнение $12,5(3x - 1) + 132,4 = (2,8 - 4x) \cdot 0,5$.
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$12,5 \cdot 3x - 12,5 \cdot 1 + 132,4 = 2,8 \cdot 0,5 - 4x \cdot 0,5$
$37,5x - 12,5 + 132,4 = 1,4 - 2x$
Упростим левую часть:
$37,5x + 119,9 = 1,4 - 2x$
Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:
$37,5x + 2x = 1,4 - 119,9$
Приведем подобные слагаемые:
$39,5x = -118,5$
Найдем $x$:
$x = \frac{-118,5}{39,5} = \frac{-1185}{395} = -3$.
Ответ: $x = -3$.

д) Дано уравнение с дробями $\frac{3x + 6}{2} - \frac{7x - 14}{3} - \frac{x + 1}{9} = 0$.
Чтобы избавиться от дробей, найдем наименьший общий знаменатель для 2, 3 и 9. Это 18. Умножим обе части уравнения на 18:
$18 \cdot \frac{3x + 6}{2} - 18 \cdot \frac{7x - 14}{3} - 18 \cdot \frac{x + 1}{9} = 18 \cdot 0$
$9(3x + 6) - 6(7x - 14) - 2(x + 1) = 0$
Раскроем скобки:
$27x + 54 - 42x + 84 - 2x - 2 = 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(27x - 42x - 2x) + (54 + 84 - 2) = 0$
$-17x + 136 = 0$
Перенесем 136 в правую часть:
$-17x = -136$
Найдем $x$:
$x = \frac{-136}{-17} = 8$.
Ответ: $x = 8$.

е) Дано уравнение $\frac{1 - 6x}{2} - \frac{2x + 19}{12} = \frac{23 - 2x}{3}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 2, 12 и 3. Это 12. Умножим обе части уравнения на 12:
$12 \cdot \frac{1 - 6x}{2} - 12 \cdot \frac{2x + 19}{12} = 12 \cdot \frac{23 - 2x}{3}$
$6(1 - 6x) - 1(2x + 19) = 4(23 - 2x)$
Раскроем скобки. Обратим внимание на знак "минус" перед второй дробью.
$6 - 36x - 2x - 19 = 92 - 8x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(-36x - 2x) + (6 - 19) = 92 - 8x$
$-38x - 13 = 92 - 8x$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$-13 - 92 = -8x + 38x$
$-105 = 30x$
Найдем $x$:
$x = \frac{-105}{30} = -\frac{7 \cdot 15}{2 \cdot 15} = -\frac{7}{2} = -3,5$.
Ответ: $x = -3,5$.

752. Упростите выражение:

а) $5(4x^2 - 2x + 1) - 2(10x^2 - 6x - 1);$

б) $7(2y^2 - 5y - 3) - 4(3y^2 - 9y - 5);$

в) $a(3b - 1) - b(a - 3) - 2(ab - a + b);$

г) $x^2(4 - y^2) + y^2(x^2 - 7) - 4x(x - 3).$

а) Чтобы упростить выражение $5(4x^2 - 2x + 1) - 2(10x^2 - 6x - 1)$, необходимо раскрыть скобки, умножив каждый член многочлена в скобках на множитель перед скобками, а затем привести подобные слагаемые.
$5(4x^2 - 2x + 1) - 2(10x^2 - 6x - 1) = (5 \cdot 4x^2 + 5 \cdot (-2x) + 5 \cdot 1) + (-2 \cdot 10x^2 - 2 \cdot (-6x) - 2 \cdot (-1)) = 20x^2 - 10x + 5 - 20x^2 + 12x + 2$.
Теперь сгруппируем подобные члены:
$(20x^2 - 20x^2) + (-10x + 12x) + (5 + 2) = 0 + 2x + 7 = 2x + 7$.
Ответ: $2x + 7$

б) Упростим выражение $7(2y^2 - 5y - 3) - 4(3y^2 - 9y - 5)$. Раскроем скобки:
$7(2y^2 - 5y - 3) - 4(3y^2 - 9y - 5) = (7 \cdot 2y^2 + 7 \cdot (-5y) + 7 \cdot (-3)) + (-4 \cdot 3y^2 - 4 \cdot (-9y) - 4 \cdot (-5)) = 14y^2 - 35y - 21 - 12y^2 + 36y + 20$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(14y^2 - 12y^2) + (-35y + 36y) + (-21 + 20) = 2y^2 + y - 1$.
Ответ: $2y^2 + y - 1$

в) Упростим выражение $a(3b - 1) - b(a - 3) - 2(ab - a + b)$. Для этого раскроем все скобки:
$a(3b - 1) - b(a - 3) - 2(ab - a + b) = (3ab - a) - (ab - 3b) - (2ab - 2a + 2b) = 3ab - a - ab + 3b - 2ab + 2a - 2b$.
Сгруппируем подобные слагаемые по переменным:
$(3ab - ab - 2ab) + (-a + 2a) + (3b - 2b) = (3ab - 3ab) + a + b = 0 + a + b = a + b$.
Ответ: $a + b$

г) Упростим выражение $x^2(4 - y^2) + y^2(x^2 - 7) - 4x(x - 3)$. Раскроем скобки:
$x^2(4 - y^2) + y^2(x^2 - 7) - 4x(x - 3) = (4x^2 - x^2y^2) + (x^2y^2 - 7y^2) - (4x^2 - 12x) = 4x^2 - x^2y^2 + x^2y^2 - 7y^2 - 4x^2 + 12x$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + (-x^2y^2 + x^2y^2) - 7y^2 + 12x = 0 + 0 - 7y^2 + 12x = 12x - 7y^2$.
Ответ: $12x - 7y^2$

750. Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру переставить на первое место, то число увеличится на 324. Найдите это трёхзначное число.

Пусть искомое трёхзначное число имеет вид $ab7$. Здесь $a$ – цифра сотен, $b$ – цифра десятков. Обозначим двузначное число, образованное первыми двумя цифрами, как $x$. Таким образом, $x = 10a + b$.

Значение исходного трёхзначного числа можно выразить через $x$ как $10x + 7$.

Если переставить цифру 7 на первое место, получится новое число $7ab$. Его значение можно записать как $700 + x$.

По условию задачи, новое число на 324 больше исходного. Составим и решим уравнение:
$(10x + 7) + 324 = 700 + x$
$10x + 331 = 700 + x$
$10x - x = 700 - 331$
$9x = 369$
$x = \frac{369}{9}$
$x = 41$

Итак, мы нашли, что двузначное число, образованное первыми двумя цифрами, равно 41. Следовательно, искомое трёхзначное число – это 417.

Проверка:
Исходное число – 417.
Новое число, полученное перестановкой цифры 7, – 741.
Разница: $741 - 417 = 324$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 417.

753. Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:

а) $3(x^2 - x + 1) - 0.5x(4x - 6)$ является положительным числом;

б) $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1.5y^2)$ является отрицательным числом.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $3(x^2 - x + 1) - 0,5x(4x - 6)$ является положительным при любых значениях переменной $x$, необходимо упростить это выражение.

Раскроем скобки:

$3(x^2 - x + 1) - 0,5x(4x - 6) = 3 \cdot x^2 - 3 \cdot x + 3 \cdot 1 - 0,5x \cdot 4x - 0,5x \cdot (-6) = 3x^2 - 3x + 3 - 2x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (-3x + 3x) + 3 = x^2 + 0 + 3 = x^2 + 3$

Полученное выражение $x^2 + 3$. Проанализируем его. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 3, результат всегда будет положительным. Более точно, $x^2 + 3 \ge 0 + 3$, следовательно $x^2 + 3 \ge 3$. Так как $3 > 0$, то и значение всего выражения всегда положительно.

Ответ: Выражение $3(x^2 - x + 1) - 0,5x(4x - 6)$ равно $x^2 + 3$, что всегда является положительным числом, так как $x^2 \ge 0$ при любом $x$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$ является отрицательным при любых значениях переменной $y$, необходимо упростить это выражение.

Представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной: $1,5 = \frac{3}{2}$.

Раскроем скобки в выражении:

$y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + \frac{3}{2}y^2) = y \cdot 2 + y \cdot y - y \cdot y^3 - (\frac{2}{3} \cdot 6 + \frac{2}{3} \cdot 3y + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}y^2) = 2y + y^2 - y^4 - (4 + 2y + y^2)$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$2y + y^2 - y^4 - 4 - 2y - y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$-y^4 + (y^2 - y^2) + (2y - 2y) - 4 = -y^4 + 0 + 0 - 4 = -y^4 - 4$

Полученное выражение $-y^4 - 4$. Проанализируем его. Четвертая степень любого действительного числа $y$ является неотрицательной, то есть $y^4 \ge 0$. Тогда $-y^4$ будет неположительным числом, то есть $-y^4 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть 4, результат всегда будет отрицательным. Более точно, $-y^4 - 4 \le 0 - 4$, следовательно $-y^4 - 4 \le -4$. Так как $-4 < 0$, то и значение всего выражения всегда отрицательно.

Ответ: Выражение $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$ равно $-y^4 - 4$, что всегда является отрицательным числом, так как $y^4 \ge 0$ при любом $y$.