Номер 751, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 751, страница 157.

Условие.

751. Преобразуйте произведение в многочлен:

а) $(x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4)(-0,2xy^2);$

б) $(b^7 - \frac{1}{2}b^5c + \frac{2}{3}b^3c^3 - \frac{2}{5}c^5)(-30bc^3);$

в) $(\frac{1}{3}a^5b - ab + \frac{1}{7})(-21a^2b^2);$

г) $(0,5x^7y^{12} - 6xy - 1)(-\frac{1}{6}xy).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы преобразовать произведение в многочлен, умножим каждый член многочлена $x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4$ на одночлен $-0,2xy^2$.
$(x^4 + 7x^2y^2 - 5y^4)(-0,2xy^2) = x^4 \cdot (-0,2xy^2) + 7x^2y^2 \cdot (-0,2xy^2) + (-5y^4) \cdot (-0,2xy^2)$.
Выполним умножение для каждого слагаемого, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
1. $x^4 \cdot (-0,2xy^2) = -0,2 \cdot x^{4+1} \cdot y^2 = -0,2x^5y^2$.
2. $7x^2y^2 \cdot (-0,2xy^2) = 7 \cdot (-0,2) \cdot x^{2+1} \cdot y^{2+2} = -1,4x^3y^4$.
3. $-5y^4 \cdot (-0,2xy^2) = -5 \cdot (-0,2) \cdot x \cdot y^{4+2} = 1xy^6 = xy^6$.
Сложим полученные результаты:
$-0,2x^5y^2 - 1,4x^3y^4 + xy^6$.
Ответ: $-0,2x^5y^2 - 1,4x^3y^4 + xy^6$.

б) Умножим каждый член многочлена $(b^7 - \frac{1}{2}b^5c + \frac{2}{3}b^3c^3 - \frac{2}{5}c^5)$ на одночлен $(-30bc^3)$.
$(b^7 - \frac{1}{2}b^5c + \frac{2}{3}b^3c^3 - \frac{2}{5}c^5)(-30bc^3) = b^7 \cdot (-30bc^3) - \frac{1}{2}b^5c \cdot (-30bc^3) + \frac{2}{3}b^3c^3 \cdot (-30bc^3) - \frac{2}{5}c^5 \cdot (-30bc^3)$.
Выполним умножение для каждого слагаемого:
1. $b^7 \cdot (-30bc^3) = -30b^{7+1}c^3 = -30b^8c^3$.
2. $-\frac{1}{2}b^5c \cdot (-30bc^3) = (-\frac{1}{2}) \cdot (-30) \cdot b^{5+1}c^{1+3} = 15b^6c^4$.
3. $\frac{2}{3}b^3c^3 \cdot (-30bc^3) = \frac{2}{3} \cdot (-30) \cdot b^{3+1}c^{3+3} = -20b^4c^6$.
4. $-\frac{2}{5}c^5 \cdot (-30bc^3) = (-\frac{2}{5}) \cdot (-30) \cdot bc^{5+3} = 12bc^8$.
Сложим полученные результаты:
$-30b^8c^3 + 15b^6c^4 - 20b^4c^6 + 12bc^8$.
Ответ: $-30b^8c^3 + 15b^6c^4 - 20b^4c^6 + 12bc^8$.

в) Умножим каждый член многочлена $(\frac{1}{3}a^5b - ab + \frac{1}{7})$ на одночлен $(-21a^2b^2)$.
$(\frac{1}{3}a^5b - ab + \frac{1}{7})(-21a^2b^2) = \frac{1}{3}a^5b \cdot (-21a^2b^2) - ab \cdot (-21a^2b^2) + \frac{1}{7} \cdot (-21a^2b^2)$.
Выполним умножение для каждого слагаемого:
1. $\frac{1}{3}a^5b \cdot (-21a^2b^2) = \frac{-21}{3}a^{5+2}b^{1+2} = -7a^7b^3$.
2. $-ab \cdot (-21a^2b^2) = 21a^{1+2}b^{1+2} = 21a^3b^3$.
3. $\frac{1}{7} \cdot (-21a^2b^2) = \frac{-21}{7}a^2b^2 = -3a^2b^2$.
Сложим полученные результаты:
$-7a^7b^3 + 21a^3b^3 - 3a^2b^2$.
Ответ: $-7a^7b^3 + 21a^3b^3 - 3a^2b^2$.

г) Умножим каждый член многочлена $(0,5x^7y^{12} - 6xy - 1)$ на одночлен $(-\frac{1}{6}xy)$. Представим $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$.
$(\frac{1}{2}x^7y^{12} - 6xy - 1)(-\frac{1}{6}xy) = \frac{1}{2}x^7y^{12} \cdot (-\frac{1}{6}xy) - 6xy \cdot (-\frac{1}{6}xy) - 1 \cdot (-\frac{1}{6}xy)$.
Выполним умножение для каждого слагаемого:
1. $\frac{1}{2}x^7y^{12} \cdot (-\frac{1}{6}xy) = -\frac{1}{2 \cdot 6}x^{7+1}y^{12+1} = -\frac{1}{12}x^8y^{13}$.
2. $-6xy \cdot (-\frac{1}{6}xy) = (-6) \cdot (-\frac{1}{6}) \cdot x^{1+1}y^{1+1} = 1x^2y^2 = x^2y^2$.
3. $-1 \cdot (-\frac{1}{6}xy) = \frac{1}{6}xy$.
Сложим полученные результаты:
$-\frac{1}{12}x^8y^{13} + x^2y^2 + \frac{1}{6}xy$.
Ответ: $-\frac{1}{12}x^8y^{13} + x^2y^2 + \frac{1}{6}xy$.