Номер 744, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 744, страница 156.

Условие.

744. Докажите, что:

а) сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ кратна сумме $a$ и $b$;

б) разность чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ кратна 9.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Для доказательства представим двузначные числа $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ в виде суммы их разрядных слагаемых. В числе $\overline{ab}$ буква $a$ обозначает количество десятков, а $b$ — количество единиц. В числе $\overline{ba}$ — наоборот.

Таким образом, мы можем записать:

$\overline{ab} = 10 \cdot a + b$

$\overline{ba} = 10 \cdot b + a$

Теперь найдем сумму этих двух чисел:

$\overline{ab} + \overline{ba} = (10a + b) + (10b + a)$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(10a + a) + (b + 10b) = 11a + 11b$

Вынесем общий множитель 11 за скобки:

$11(a + b)$

Сумма цифр $a$ и $b$ равна $(a+b)$. Полученное выражение $11(a+b)$ содержит множитель $(a+b)$, а значит, оно делится на $(a+b)$ нацело. Результатом деления будет целое число 11:

$\frac{11(a+b)}{a+b} = 11$

Это доказывает, что сумма чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда кратна сумме их цифр $a$ и $b$.

Ответ: Доказано.

б)

Используем те же алгебраические представления чисел, что и в предыдущем пункте:

$\overline{ab} = 10a + b$

$\overline{ba} = 10b + a$

Найдем разность этих чисел. Для определённости будем считать, что $\overline{ab} \ge \overline{ba}$.

$\overline{ab} - \overline{ba} = (10a + b) - (10b + a)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$10a + b - 10b - a = (10a - a) + (b - 10b) = 9a - 9b$

Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$9(a - b)$

Поскольку $a$ и $b$ являются цифрами (целыми числами), их разность $(a-b)$ также является целым числом. Полученное выражение $9(a-b)$ является произведением целого числа $(a-b)$ и числа 9. Согласно определению кратности, любое число, которое можно представить в виде $9 \cdot k$, где $k$ — целое число, кратно 9.

Следовательно, разность чисел $\overline{ab}$ и $\overline{ba}$ всегда кратна 9.

Ответ: Доказано.