Номер 740, страница 156 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 9. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 740, страница 156.

Условие.

740. Докажите, что при любом значении $x$ разность многочленов $1\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}$ и $0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7}$ принимает положительное значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что разность двух многочленов принимает положительное значение при любом значении $x$, необходимо найти эту разность, упростить полученное выражение и проанализировать его.

Обозначим первый многочлен как $P_1(x)$ и второй как $P_2(x)$:

$P_1(x) = 1\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}$

$P_2(x) = 0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7}$

Найдем разность $D(x) = P_1(x) - P_2(x)$. Для удобства вычислений преобразуем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби:

$1\frac{3}{4} = \frac{7}{4}$
$1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
$0,75 = \frac{3}{4}$
$0,125 = \frac{1}{8}$
$2,25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь вычтем один многочлен из другого:

$D(x) = (1\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - 1\frac{1}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}) - (0,75x^4 - 0,125x^3 - 2,25x^2 + 0,4x - \frac{3}{7})$

Подставим преобразованные дроби и раскроем скобки:

$D(x) = (\frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7}) - (\frac{3}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{9}{4}x^2 + \frac{2}{5}x - \frac{3}{7})$

$D(x) = \frac{7}{4}x^4 - \frac{1}{8}x^3 - \frac{5}{4}x^2 + \frac{2}{5}x + \frac{5}{7} - \frac{3}{4}x^4 + \frac{1}{8}x^3 + \frac{9}{4}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{3}{7}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$D(x) = (\frac{7}{4} - \frac{3}{4})x^4 + (-\frac{1}{8} + \frac{1}{8})x^3 + (-\frac{5}{4} + \frac{9}{4})x^2 + (\frac{2}{5} - \frac{2}{5})x + (\frac{5}{7} + \frac{3}{7})$

Выполним вычисления:

$D(x) = (\frac{4}{4})x^4 + (0)x^3 + (\frac{4}{4})x^2 + (0)x + \frac{8}{7}$

$D(x) = x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$

Теперь проанализируем полученное выражение $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$.

1. Член $x^4$ всегда неотрицателен, так как любое число, возведенное в четвертую (четную) степень, больше или равно нулю. То есть, $x^4 \ge 0$ для любого $x$.

2. Член $x^2$ также всегда неотрицателен, так как любое число, возведенное во вторую (четную) степень, больше или равно нулю. То есть, $x^2 \ge 0$ для любого $x$.

3. Свободный член $\frac{8}{7}$ является положительным числом ($\frac{8}{7} > 0$).

Таким образом, разность многочленов представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых ($x^4$ и $x^2$) и одного положительного слагаемого ($\frac{8}{7}$). Сумма неотрицательного числа и положительного числа всегда положительна. Минимальное значение выражения достигается при $x=0$, когда $x^4=0$ и $x^2=0$. В этом случае значение выражения равно $\frac{8}{7}$.

$x^4 + x^2 + \frac{8}{7} \ge 0 + 0 + \frac{8}{7} = \frac{8}{7}$

Поскольку $\frac{8}{7} > 0$, то и вся сумма $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$ всегда больше нуля при любом значении $x$.

Ответ: Разность многочленов равна $x^4 + x^2 + \frac{8}{7}$. Так как $x^4 \ge 0$, $x^2 \ge 0$ для любого $x$, а $\frac{8}{7} > 0$, то их сумма всегда будет положительным числом, что и требовалось доказать.