Номер 753, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 753, страница 157.

Условие.

753. Докажите, что при любых значениях переменной значение выражения:

а) $3(x^2 - x + 1) - 0.5x(4x - 6)$ является положительным числом;

б) $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1.5y^2)$ является отрицательным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $3(x^2 - x + 1) - 0,5x(4x - 6)$ является положительным при любых значениях переменной $x$, необходимо упростить это выражение.

Раскроем скобки:

$3(x^2 - x + 1) - 0,5x(4x - 6) = 3 \cdot x^2 - 3 \cdot x + 3 \cdot 1 - 0,5x \cdot 4x - 0,5x \cdot (-6) = 3x^2 - 3x + 3 - 2x^2 + 3x$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (-3x + 3x) + 3 = x^2 + 0 + 3 = x^2 + 3$

Полученное выражение $x^2 + 3$. Проанализируем его. Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 3, результат всегда будет положительным. Более точно, $x^2 + 3 \ge 0 + 3$, следовательно $x^2 + 3 \ge 3$. Так как $3 > 0$, то и значение всего выражения всегда положительно.

Ответ: Выражение $3(x^2 - x + 1) - 0,5x(4x - 6)$ равно $x^2 + 3$, что всегда является положительным числом, так как $x^2 \ge 0$ при любом $x$.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$ является отрицательным при любых значениях переменной $y$, необходимо упростить это выражение.

Представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной: $1,5 = \frac{3}{2}$.

Раскроем скобки в выражении:

$y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + \frac{3}{2}y^2) = y \cdot 2 + y \cdot y - y \cdot y^3 - (\frac{2}{3} \cdot 6 + \frac{2}{3} \cdot 3y + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}y^2) = 2y + y^2 - y^4 - (4 + 2y + y^2)$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:

$2y + y^2 - y^4 - 4 - 2y - y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$-y^4 + (y^2 - y^2) + (2y - 2y) - 4 = -y^4 + 0 + 0 - 4 = -y^4 - 4$

Полученное выражение $-y^4 - 4$. Проанализируем его. Четвертая степень любого действительного числа $y$ является неотрицательной, то есть $y^4 \ge 0$. Тогда $-y^4$ будет неположительным числом, то есть $-y^4 \le 0$. Если из неположительного числа вычесть 4, результат всегда будет отрицательным. Более точно, $-y^4 - 4 \le 0 - 4$, следовательно $-y^4 - 4 \le -4$. Так как $-4 < 0$, то и значение всего выражения всегда отрицательно.

Ответ: Выражение $y(2 + y - y^3) - \frac{2}{3}(6 + 3y + 1,5y^2)$ равно $-y^4 - 4$, что всегда является отрицательным числом, так как $y^4 \ge 0$ при любом $y$.