Номер 760, страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 760, страница 158.

Условие.

760. Из A в B одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого. Мотоциклист, который первым прибыл в B, сразу же отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил через 2 ч 24 мин после выезда из A. Расстояние между A и B равно 120 км. Найдите скорости мотоциклистов и расстояние от места встречи до B.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Найдем скорости мотоциклистов

Пусть $v_1$ — скорость более медленного мотоциклиста, а $v_2$ — скорость более быстрого мотоциклиста. По условию задачи, скорость одного в 1,5 раза больше скорости другого, значит, $v_2 = 1,5 \cdot v_1$.

Расстояние между пунктами А и В равно $S = 120$ км.

Мотоциклисты встретились через время $t = 2$ ч $24$ мин после выезда. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = 0,4 \text{ ч}$. Таким образом, $t = 2 + 0,4 = 2,4$ ч.

К моменту встречи первый (медленный) мотоциклист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$.

Второй (быстрый) мотоциклист за это же время $t$ успел доехать до пункта В, развернуться и поехать обратно. Пройденный им путь равен $S_2 = v_2 \cdot t$.

В момент встречи суммарное расстояние, которое проехали оба мотоциклиста, равно удвоенному расстоянию между А и В. Это потому, что быстрый мотоциклист проехал весь путь от А до В, а затем вернулся к точке встречи, в то время как медленный мотоциклист проехал оставшуюся часть пути от А до той же точки встречи. Вместе они "покрыли" расстояние $AB$ дважды. Получаем уравнение: $S_1 + S_2 = 2S$

Подставим выражения через скорость и время: $v_1 t + v_2 t = 2S$ $(v_1 + v_2)t = 2S$

Теперь используем соотношение скоростей $v_2 = 1,5 v_1$: $(v_1 + 1,5 v_1)t = 2S$ $2,5 v_1 t = 2S$

Подставим известные числовые значения $S = 120$ км и $t = 2,4$ ч, чтобы найти скорость $v_1$: $2,5 \cdot v_1 \cdot 2,4 = 2 \cdot 120$ $6 \cdot v_1 = 240$ $v_1 = \frac{240}{6}$ $v_1 = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго, более быстрого, мотоциклиста: $v_2 = 1,5 \cdot v_1 = 1,5 \cdot 40 = 60$ км/ч.

Ответ: скорости мотоциклистов равны 40 км/ч и 60 км/ч.

Найдем расстояние от места встречи до В

Чтобы найти искомое расстояние, сначала определим, где произошла встреча. Для этого вычислим расстояние, которое проехал от пункта А медленный мотоциклист за время $t = 2,4$ ч. $S_1 = v_1 \cdot t = 40 \text{ км/ч} \cdot 2,4 \text{ ч} = 96$ км.

Встреча произошла на расстоянии 96 км от пункта А.

Расстояние от места встречи до пункта В будет равно разности общего расстояния $S$ и расстояния от А до места встречи $S_1$: $S_{встречи-В} = S - S_1 = 120 \text{ км} - 96 \text{ км} = 24$ км.

Для проверки можно выполнить расчет, используя данные быстрого мотоциклиста. Общий путь, который он проехал: $S_2 = v_2 \cdot t = 60 \text{ км/ч} \cdot 2,4 \text{ ч} = 144$ км. Этот путь состоит из расстояния от А до В (120 км) и расстояния от В до места встречи. $S_{встречи-В} = S_2 - S = 144 \text{ км} - 120 \text{ км} = 24$ км. Результаты совпадают.

Ответ: расстояние от места встречи до В равно 24 км.