Номер 767, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 767, страница 159.

Условие.

767. Разложите на множители:

а) $a^{20} - a^{10} + a^5$;

б) $b^{60} + b^{40} - b^{20}$.

в) $a^{10} - a^8 - a^6$;

г) $b^{40} + b^{20} + b^{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

В выражении $a^{20} - a^{10} + a^5$ все члены содержат переменную $a$. Для разложения на множители вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $a^5$.

$a^{20} - a^{10} + a^5 = a^5 \cdot \frac{a^{20}}{a^5} - a^5 \cdot \frac{a^{10}}{a^5} + a^5 \cdot \frac{a^5}{a^5}$

Используя свойство степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$, получаем:

$a^5(a^{20-5} - a^{10-5} + a^{5-5}) = a^5(a^{15} - a^5 + a^0) = a^5(a^{15} - a^5 + 1)$

Ответ: $a^5(a^{15} - a^5 + 1)$

б)

В выражении $b^{60} + b^{40} - b^{20}$ все члены содержат переменную $b$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $b^{20}$.

$b^{60} + b^{40} - b^{20} = b^{20} \cdot \frac{b^{60}}{b^{20}} + b^{20} \cdot \frac{b^{40}}{b^{20}} - b^{20} \cdot \frac{b^{20}}{b^{20}}$

$b^{20}(b^{60-20} + b^{40-20} - b^{20-20}) = b^{20}(b^{40} + b^{20} - 1)$

Ответ: $b^{20}(b^{40} + b^{20} - 1)$

в)

В выражении $a^{10} - a^8 - a^6$ все члены содержат переменную $a$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $a^6$.

$a^{10} - a^8 - a^6 = a^6 \cdot \frac{a^{10}}{a^6} - a^6 \cdot \frac{a^8}{a^6} - a^6 \cdot \frac{a^6}{a^6}$

$a^6(a^{10-6} - a^{8-6} - a^{6-6}) = a^6(a^4 - a^2 - 1)$

Ответ: $a^6(a^4 - a^2 - 1)$

г)

В выражении $b^{40} + b^{20} + b^{10}$ все члены содержат переменную $b$. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $b^{10}$.

$b^{40} + b^{20} + b^{10} = b^{10} \cdot \frac{b^{40}}{b^{10}} + b^{10} \cdot \frac{b^{20}}{b^{10}} + b^{10} \cdot \frac{b^{10}}{b^{10}}$

$b^{10}(b^{40-10} + b^{20-10} + b^{10-10}) = b^{10}(b^{30} + b^{10} + 1)$

Ответ: $b^{10}(b^{30} + b^{10} + 1)$