Номер 768, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 768, страница 159.

Условие.

768. Докажите, что:

a) $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50;

б) $5^{31} - 5^{29}$ делится на 100;

в) $25^9 + 5^{17}$ делится на 30;

г) $27^{10} - 9^{14}$ делится на 24;

д) $12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$ делится на 7 и на 19;

е) $11^9 - 11^8 + 11^7$ делится на 3 и на 37.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что выражение $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50, вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $7^{14}$.

$7^{16} + 7^{14} = 7^{14} \cdot 7^2 + 7^{14} \cdot 1 = 7^{14}(7^2 + 1)$.

Теперь вычислим значение выражения в скобках: $7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$.

В результате преобразования мы получили выражение $7^{14} \cdot 50$. Так как один из множителей в этом произведении равен 50, то все выражение делится на 50 без остатка.

Ответ: Доказано, что $7^{16} + 7^{14}$ делится на 50.

б) Чтобы доказать, что выражение $5^{31} - 5^{29}$ делится на 100, вынесем за скобки общий множитель $5^{29}$.

$5^{31} - 5^{29} = 5^{29} \cdot 5^2 - 5^{29} \cdot 1 = 5^{29}(5^2 - 1)$.

Вычислим значение в скобках: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.

Получили выражение $5^{29} \cdot 24$. Чтобы доказать делимость на 100, представим $100$ как $4 \cdot 25$. Выражение можно переписать так:

$5^{29} \cdot 24 = 5^{27} \cdot 5^2 \cdot (4 \cdot 6) = 5^{27} \cdot 25 \cdot 4 \cdot 6 = (5^{27} \cdot 6) \cdot (25 \cdot 4) = (5^{27} \cdot 6) \cdot 100$.

Так как полученное выражение содержит множитель 100, оно делится на 100.

Ответ: Доказано, что $5^{31} - 5^{29}$ делится на 100.

в) Чтобы доказать, что $25^9 + 5^{17}$ делится на 30, приведем степени к общему основанию 5, используя то, что $25=5^2$.

$25^9 + 5^{17} = (5^2)^9 + 5^{17} = 5^{18} + 5^{17}$.

Вынесем за скобки общий множитель $5^{17}$:

$5^{17}(5^1 + 1) = 5^{17}(5 + 1) = 5^{17} \cdot 6$.

Для доказательства делимости на 30 ($30 = 5 \cdot 6$) преобразуем выражение:

$5^{17} \cdot 6 = 5^{16} \cdot 5 \cdot 6 = 5^{16} \cdot 30$.

Так как выражение содержит множитель 30, оно делится на 30.

Ответ: Доказано, что $25^9 + 5^{17}$ делится на 30.

г) Чтобы доказать, что $27^{10} - 9^{14}$ делится на 24, приведем степени к общему основанию 3, зная, что $27=3^3$ и $9=3^2$.

$27^{10} - 9^{14} = (3^3)^{10} - (3^2)^{14} = 3^{30} - 3^{28}$.

Вынесем за скобки общий множитель $3^{28}$:

$3^{28}(3^2 - 1) = 3^{28}(9 - 1) = 3^{28} \cdot 8$.

Для доказательства делимости на 24 ($24 = 3 \cdot 8$) преобразуем выражение:

$3^{28} \cdot 8 = 3^{27} \cdot 3 \cdot 8 = 3^{27} \cdot 24$.

Так как выражение содержит множитель 24, оно делится на 24.

Ответ: Доказано, что $27^{10} - 9^{14}$ делится на 24.

д) Докажем, что $12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$ делится на 7 и на 19. Вынесем за скобки общий множитель $12^{11}$.

$12^{11}(12^2 - 12^1 + 1) = 12^{11}(144 - 12 + 1)$.

Вычислим значение в скобках: $144 - 12 + 1 = 133$.

Получили выражение $12^{11} \cdot 133$. Проверим, делится ли 133 на 7 и 19.

$133 \div 7 = 19$. Следовательно, $133 = 7 \cdot 19$.

Таким образом, исходное выражение равно $12^{11} \cdot 7 \cdot 19$. Поскольку оно содержит множитель 7, оно делится на 7. Поскольку оно содержит множитель 19, оно делится на 19.

Ответ: Доказано, что $12^{13} - 12^{12} + 12^{11}$ делится на 7 и на 19.

е) Докажем, что $11^9 - 11^8 + 11^7$ делится на 3 и на 37. Вынесем за скобки общий множитель $11^7$.

$11^7(11^2 - 11^1 + 1) = 11^7(121 - 11 + 1)$.

Вычислим значение в скобках: $121 - 11 + 1 = 111$.

Получили выражение $11^7 \cdot 111$. Разложим 111 на множители. Сумма цифр числа 111 равна $1+1+1=3$, значит, оно делится на 3. $111 \div 3 = 37$.

Следовательно, $111 = 3 \cdot 37$.

Таким образом, исходное выражение равно $11^7 \cdot 3 \cdot 37$. Поскольку оно содержит множитель 3, оно делится на 3. Поскольку оно содержит множитель 37, оно делится на 37.

Ответ: Доказано, что $11^9 - 11^8 + 11^7$ делится на 3 и на 37.