Страница 158 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

757. Расстояние между пристанями $M$ и $N$ равно 162 км. От пристани $M$ отошёл теплоход со скоростью 45 км/ч. Через 45 мин от пристани $N$ навстречу ему отошёл другой теплоход, скорость которого 36 км/ч. Через сколько часов после отправления первого теплохода они встретятся?

Для решения задачи обозначим искомое время (в часах) с момента отправления первого теплохода до их встречи как $t$.

Скорость первого теплохода, вышедшего из пристани $M$, составляет $v_1 = 45$ км/ч. За время $t$ он пройдет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t = 45t$ км.

Второй теплоход вышел из пристани $N$ навстречу первому на 45 минут позже. Переведем это время в часы:$45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}$.

Следовательно, время движения второго теплохода до встречи составит $(t - 0.75)$ часа. Его скорость $v_2 = 36$ км/ч, поэтому он пройдет расстояние $S_2 = v_2 \cdot (t - 0.75) = 36(t - 0.75)$ км.

Общее расстояние между пристанями равно 162 км. В момент встречи сумма расстояний, пройденных двумя теплоходами, будет равна этому значению. На основании этого можно составить уравнение:$S_1 + S_2 = 162$

Подставим в уравнение выражения для $S_1$ и $S_2$:$45t + 36(t - 0.75) = 162$

Решим полученное линейное уравнение:$45t + 36t - 36 \cdot 0.75 = 162$$81t - 27 = 162$$81t = 162 + 27$$81t = 189$$t = \frac{189}{81}$

Для упрощения дроби разделим числитель и знаменатель на их общий делитель, например, на 9:$t = \frac{189 \div 9}{81 \div 9} = \frac{21}{9}$

Продолжим сокращение, разделив на 3:$t = \frac{21 \div 3}{9 \div 3} = \frac{7}{3}$

Таким образом, время до встречи составляет $\frac{7}{3}$ часа. Это можно представить в виде смешанной дроби $2\frac{1}{3}$ часа. Поскольку $\frac{1}{3}$ часа равна $60 \cdot \frac{1}{3} = 20$ минут, то время встречи составляет 2 часа 20 минут.

Ответ: теплоходы встретятся через $\frac{7}{3}$ часа (или 2 часа 20 минут) после отправления первого теплохода.

760. Из A в B одновременно выехали два мотоциклиста. Скорость одного из них в 1,5 раза больше скорости другого. Мотоциклист, который первым прибыл в B, сразу же отправился обратно. Другого мотоциклиста он встретил через 2 ч 24 мин после выезда из A. Расстояние между A и B равно 120 км. Найдите скорости мотоциклистов и расстояние от места встречи до B.

Найдем скорости мотоциклистов

Пусть $v_1$ — скорость более медленного мотоциклиста, а $v_2$ — скорость более быстрого мотоциклиста. По условию задачи, скорость одного в 1,5 раза больше скорости другого, значит, $v_2 = 1,5 \cdot v_1$.

Расстояние между пунктами А и В равно $S = 120$ км.

Мотоциклисты встретились через время $t = 2$ ч $24$ мин после выезда. Переведем это время в часы для удобства расчетов: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = 0,4 \text{ ч}$. Таким образом, $t = 2 + 0,4 = 2,4$ ч.

К моменту встречи первый (медленный) мотоциклист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$.

Второй (быстрый) мотоциклист за это же время $t$ успел доехать до пункта В, развернуться и поехать обратно. Пройденный им путь равен $S_2 = v_2 \cdot t$.

В момент встречи суммарное расстояние, которое проехали оба мотоциклиста, равно удвоенному расстоянию между А и В. Это потому, что быстрый мотоциклист проехал весь путь от А до В, а затем вернулся к точке встречи, в то время как медленный мотоциклист проехал оставшуюся часть пути от А до той же точки встречи. Вместе они "покрыли" расстояние $AB$ дважды. Получаем уравнение: $S_1 + S_2 = 2S$

Подставим выражения через скорость и время: $v_1 t + v_2 t = 2S$ $(v_1 + v_2)t = 2S$

Теперь используем соотношение скоростей $v_2 = 1,5 v_1$: $(v_1 + 1,5 v_1)t = 2S$ $2,5 v_1 t = 2S$

Подставим известные числовые значения $S = 120$ км и $t = 2,4$ ч, чтобы найти скорость $v_1$: $2,5 \cdot v_1 \cdot 2,4 = 2 \cdot 120$ $6 \cdot v_1 = 240$ $v_1 = \frac{240}{6}$ $v_1 = 40$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго, более быстрого, мотоциклиста: $v_2 = 1,5 \cdot v_1 = 1,5 \cdot 40 = 60$ км/ч.

Ответ: скорости мотоциклистов равны 40 км/ч и 60 км/ч.

Найдем расстояние от места встречи до В

Чтобы найти искомое расстояние, сначала определим, где произошла встреча. Для этого вычислим расстояние, которое проехал от пункта А медленный мотоциклист за время $t = 2,4$ ч. $S_1 = v_1 \cdot t = 40 \text{ км/ч} \cdot 2,4 \text{ ч} = 96$ км.

Встреча произошла на расстоянии 96 км от пункта А.

Расстояние от места встречи до пункта В будет равно разности общего расстояния $S$ и расстояния от А до места встречи $S_1$: $S_{встречи-В} = S - S_1 = 120 \text{ км} - 96 \text{ км} = 24$ км.

Для проверки можно выполнить расчет, используя данные быстрого мотоциклиста. Общий путь, который он проехал: $S_2 = v_2 \cdot t = 60 \text{ км/ч} \cdot 2,4 \text{ ч} = 144$ км. Этот путь состоит из расстояния от А до В (120 км) и расстояния от В до места встречи. $S_{встречи-В} = S_2 - S = 144 \text{ км} - 120 \text{ км} = 24$ км. Результаты совпадают.

Ответ: расстояние от места встречи до В равно 24 км.

763. Кооператив наметил изготовить партию мужских сорочек за 8 дней. Выпуская в день на 10 сорочек больше, чем предполагалось, он выполнил план за один день до срока. Сколько сорочек в день должен был выпускать кооператив?

Пусть $x$ — это количество сорочек, которое кооператив должен был выпускать в день по плану. Поскольку на выполнение всей работы было запланировано 8 дней, то общий размер партии составляет $8x$ сорочек.

По условию задачи, кооператив увеличил производительность на 10 сорочек в день, то есть фактический выпуск составил $x + 10$ сорочек в день.

Это позволило выполнить план на один день раньше срока, то есть за $8 - 1 = 7$ дней.

За 7 дней работы было изготовлено $7(x + 10)$ сорочек, что и составляет всю партию.

Так как плановый объем работы и фактический объем работы равны (была изготовлена одна и та же партия сорочек), мы можем составить уравнение:
$8x = 7(x + 10)$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:
$8x = 7x + 70$

Затем перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения:
$8x - 7x = 70$

$x = 70$

Таким образом, по плану кооператив должен был выпускать 70 сорочек в день.

Ответ: 70 сорочек.

755. Два сосуда были наполнены растворами соли, причём во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в первом. Концентрация соли в первом растворе составляла 10%, а во втором — 30%. После того как растворы слили в третий сосуд, получили новый раствор, концентрация соли в котором оказалась равной 25%. Сколько раствора было в первом сосуде первоначально?

Пусть $x$ кг — масса раствора в первом сосуде. Согласно условию, во втором сосуде содержалось на 2 кг больше раствора, чем в первом, следовательно, масса раствора во втором сосуде составляет $(x + 2)$ кг.

Концентрация соли в первом растворе составляет 10%, или 0,1. Таким образом, масса соли в первом сосуде равна $0,1x$ кг.

Концентрация соли во втором растворе составляет 30%, или 0,3. Масса соли во втором сосуде равна $0,3(x + 2)$ кг.

После смешивания растворов общая масса полученного раствора стала равна сумме масс исходных растворов: $m_{общ} = x + (x + 2) = 2x + 2$ кг.

Общая масса соли в новом растворе также равна сумме масс соли в исходных растворах: $m_{соли} = 0,1x + 0,3(x + 2)$ кг.

Концентрация соли в полученном растворе составила 25%, или 0,25. Концентрация вычисляется как отношение массы соли к общей массе раствора. На основании этого можно составить уравнение: $\frac{m_{соли}}{m_{общ}} = \frac{0,1x + 0,3(x + 2)}{2x + 2} = 0,25$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$0,1x + 0,3(x + 2) = 0,25(2x + 2)$
$0,1x + 0,3x + 0,6 = 0,5x + 0,5$
$0,4x + 0,6 = 0,5x + 0,5$
$0,6 - 0,5 = 0,5x - 0,4x$
$0,1 = 0,1x$
$x = \frac{0,1}{0,1}$
$x = 1$

Следовательно, в первом сосуде первоначально был 1 кг раствора.

Ответ: 1 кг.

758. От пристани A отошёл теплоход со скоростью 40 км/ч. Через $1\frac{1}{4}$ ч вслед за ним отошёл другой теплоход со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после своего отправления и на каком расстоянии от A второй теплоход догонит первый?

Через сколько часов после своего отправления второй теплоход догонит первый

1. Сначала определим, какое расстояние прошел первый теплоход до того, как второй покинул пристань. Первый теплоход двигался в одиночку в течение $1\frac{1}{4}$ часа. Переведем это время в десятичную дробь:
$1\frac{1}{4} \text{ ч} = 1.25 \text{ ч}$.
За это время он создал отрыв (фору) на расстояние $S_{форы}$:
$S_{форы} = 40 \text{ км/ч} \times 1.25 \text{ ч} = 50 \text{ км}$.

2. Второй теплоход движется быстрее, поэтому он будет догонять первый. Найдем скорость сближения, которая равна разности их скоростей:
$v_{сбл} = 60 \text{ км/ч} - 40 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$.

3. Время, которое потребуется второму теплоходу, чтобы догнать первый, — это время, за которое он преодолеет начальное расстояние в 50 км со скоростью сближения 20 км/ч. Обозначим это время как $t$:
$t = \frac{S_{форы}}{v_{сбл}} = \frac{50 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 2.5 \text{ ч}$.

Ответ: через 2,5 часа.

На каком расстоянии от А второй теплоход догонит первый

Чтобы найти расстояние от пристани А, на котором произойдет встреча, нужно умножить скорость второго теплохода на время его движения до этого момента. Мы уже рассчитали, что второй теплоход будет в пути 2,5 часа.
$S = v_2 \times t = 60 \text{ км/ч} \times 2.5 \text{ ч} = 150 \text{ км}$.
Для проверки можно выполнить расчет для первого теплохода. Его общее время в пути составит $1.25 \text{ ч} + 2.5 \text{ ч} = 3.75 \text{ ч}$.
$S = v_1 \times (1.25 + 2.5) = 40 \text{ км/ч} \times 3.75 \text{ ч} = 150 \text{ км}$.
Расстояния совпадают.

Ответ: на расстоянии 150 км.

761. За 4 ч катер проходит по течению расстояние, в 2,4 раза большее, чем за 2 ч против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 1,5 км/ч?

Пусть собственная скорость катера, то есть его скорость в стоячей воде, равна $x$ км/ч.

Скорость течения реки по условию составляет $1,5$ км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = (x + 1,5)$ км/ч.

Скорость катера против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = (x - 1,5)$ км/ч.

Расстояние, которое катер проходит за 4 часа по течению, вычисляется по формуле $S = v \cdot t$:
$S_{по} = 4 \cdot (x + 1,5)$ км.

Расстояние, которое катер проходит за 2 часа против течения, составляет:
$S_{пр} = 2 \cdot (x - 1,5)$ км.

Из условия задачи известно, что расстояние, пройденное по течению, в 2,4 раза больше расстояния, пройденного против течения. На основе этого составим уравнение:
$S_{по} = 2,4 \cdot S_{пр}$
$4 \cdot (x + 1,5) = 2,4 \cdot (2 \cdot (x - 1,5))$

Теперь решим это уравнение для нахождения $x$:
$4(x + 1,5) = 4,8(x - 1,5)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$4x + 6 = 4,8x - 7,2$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а числовые значения — в левую:
$6 + 7,2 = 4,8x - 4x$
$13,2 = 0,8x$
Теперь найдем $x$:
$x = \frac{13,2}{0,8}$
$x = \frac{132}{8}$
$x = 16,5$

Следовательно, скорость катера в стоячей воде равна 16,5 км/ч.

Ответ: 16,5 км/ч.

756. В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая — 200 кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть x кг — это количество раствора, которое привезли во вторую бригаду.

Поскольку в первую бригаду привезли на 50 кг меньше, то количество раствора для первой бригады составляет $(x - 50)$ кг.

Теперь рассчитаем, сколько раствора каждая бригада израсходовала за 3 часа работы.

Первая бригада израсходовала: $150 \text{ кг/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 450 \text{ кг}$.

Вторая бригада израсходовала: $200 \text{ кг/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 600 \text{ кг}$.

Определим количество раствора, которое осталось в каждой бригаде через 3 часа.

Остаток в первой бригаде: $(x - 50) - 450 = x - 500$ кг.

Остаток во второй бригаде: $x - 600$ кг.

Согласно условию, в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. На основе этого составим уравнение:

$x - 500 = 1.5 \cdot (x - 600)$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки в правой части:

$x - 500 = 1.5x - 1.5 \cdot 600$

$x - 500 = 1.5x - 900$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$900 - 500 = 1.5x - x$

$400 = 0.5x$

Найдем значение $x$:

$x = \frac{400}{0.5}$

$x = 800$

Таким образом, во вторую бригаду привезли 800 кг раствора.

Теперь найдем, сколько раствора привезли в первую бригаду:

$x - 50 = 800 - 50 = 750 \text{ кг}$

Ответ: в первую бригаду привезли 750 кг раствора, а во вторую — 800 кг.

759. Из города A в город B одновременно отправляются два автобуса. Скорость одного из них на 10 км/ч больше скорости другого. Через $3\frac{1}{2}$ ч один автобус пришёл в B, а другой находился от B на расстоянии, равном $\frac{1}{6}$ расстояния между A и B. Найдите скорости автобусов и расстояние от A до B.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v$ (км/ч) — скорость более медленного автобуса. Тогда, согласно условию, скорость более быстрого автобуса будет $(v + 10)$ км/ч.

Время, указанное в задаче, составляет $t = 3\frac{1}{2}$ часа, что равно $3.5$ часа.

За это время быстрый автобус прибыл в город В, преодолев всё расстояние $S$ между городами А и В. Следовательно, расстояние можно выразить через скорость быстрого автобуса:

$S = (v + 10) \cdot 3.5$

В то же время медленный автобус находился на расстоянии $\frac{1}{6}S$ от города В. Это означает, что он проехал расстояние, равное $S - \frac{1}{6}S = \frac{5}{6}S$. Это расстояние также можно выразить через скорость медленного автобуса и время в пути:

$\frac{5}{6}S = v \cdot 3.5$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $S$ и $v$. Подставим выражение для $S$ из первого уравнения во второе:

$\frac{5}{6} \cdot ((v + 10) \cdot 3.5) = v \cdot 3.5$

Решим полученное уравнение относительно $v$. Так как время $3.5 \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $3.5$:

$\frac{5}{6}(v + 10) = v$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 6:

$5(v + 10) = 6v$

Раскроем скобки в левой части:

$5v + 50 = 6v$

Перенесем слагаемые, содержащие $v$, в одну сторону:

$6v - 5v = 50$

$v = 50$

Таким образом, скорость медленного автобуса равна 50 км/ч.

Теперь найдем скорость быстрого автобуса:

$v + 10 = 50 + 10 = 60$ км/ч.

Наконец, вычислим расстояние $S$ между городами А и В, используя скорость быстрого автобуса и время в пути:

$S = 60 \text{ км/ч} \cdot 3.5 \text{ ч} = 210$ км.

Ответ: скорость одного автобуса 50 км/ч, скорость другого автобуса 60 км/ч, расстояние от А до В равно 210 км.

762. За 6 ч катер проходит по течению на 20 км меньше, чем за 10 ч против течения. Какова скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 15 км/ч?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — искомая скорость течения реки.

Собственная скорость катера по условию равна 15 км/ч. Тогда скорость катера при движении по течению будет составлять $(15 + x)$ км/ч, а скорость при движении против течения — $(15 - x)$ км/ч.

Теперь определим расстояние, которое катер прошел в каждом направлении, используя формулу расстояния $S = V \cdot t$.
Расстояние, пройденное за 6 часов по течению: $S_{по} = 6 \cdot (15 + x)$ км.
Расстояние, пройденное за 10 часов против течения: $S_{против} = 10 \cdot (15 - x)$ км.

Из условия задачи известно, что расстояние, пройденное по течению, на 20 км меньше, чем расстояние, пройденное против течения. На основе этого можно составить уравнение:
$S_{против} - S_{по} = 20$

Подставим в уравнение выражения для расстояний и решим его:
$10(15 - x) - 6(15 + x) = 20$
$150 - 10x - 90 - 6x = 20$
$60 - 16x = 20$
$-16x = 20 - 60$
$-16x = -40$
$x = \frac{-40}{-16}$
$x = 2.5$

Таким образом, скорость течения реки составляет 2,5 км/ч.

Ответ: 2,5 км/ч.