Страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

776. Докажите, что:

a) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;

б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.

а) Обозначим три последовательные степени числа 2 с натуральными показателями как $2^n$, $2^{n+1}$ и $2^{n+2}$, где $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.
Их сумма $S$ равна:
$S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$
Для доказательства вынесем за скобки общий множитель, которым является наименьшая степень, то есть $2^n$:
$S = 2^n (1 + 2^1 + 2^2) = 2^n (1 + 2 + 4) = 2^n \cdot 7$
Нам нужно доказать, что полученное выражение делится на 14. Поскольку $14 = 2 \cdot 7$, нам нужно показать, что в произведении $2^n \cdot 7$ есть множители 2 и 7. Множитель 7 у нас уже есть.
Так как по условию показатель степени — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $2^n$ всегда делится на 2. Представим $2^n$ как $2 \cdot 2^{n-1}$.
$S = (2 \cdot 2^{n-1}) \cdot 7 = (2 \cdot 7) \cdot 2^{n-1} = 14 \cdot 2^{n-1}$
Поскольку $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$, и $2^{n-1}$ является целым числом. Следовательно, выражение $14 \cdot 2^{n-1}$ всегда делится на 14 нацело. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Обозначим две последовательные степени числа 5 с натуральными показателями как $5^n$ и $5^{n+1}$, где $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.
Их сумма $S$ равна:
$S = 5^n + 5^{n+1}$
Вынесем за скобки общий множитель $5^n$:
$S = 5^n (1 + 5^1) = 5^n (1 + 5) = 5^n \cdot 6$
Нам нужно доказать, что полученное выражение делится на 30. Поскольку $30 = 5 \cdot 6$, нам нужно показать, что в произведении $5^n \cdot 6$ есть множители 5 и 6. Множитель 6 у нас уже есть.
Так как по условию показатель степени — натуральное число, то $n \ge 1$. Это означает, что $5^n$ всегда делится на 5. Представим $5^n$ как $5 \cdot 5^{n-1}$.
$S = (5 \cdot 5^{n-1}) \cdot 6 = (5 \cdot 6) \cdot 5^{n-1} = 30 \cdot 5^{n-1}$
Поскольку $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$, и $5^{n-1}$ является целым числом. Следовательно, выражение $30 \cdot 5^{n-1}$ всегда делится на 30 нацело. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

778. Упростите:

а) $(a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14);$

б) $(2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b);$

в) $2x^2 - (x - 2y)(2x + y);$

г) $(m - 3n)(m + 2n) - m(m - n);$

д) $(a - 2b)(b + 4a) - 7b(a + b);$

е) $(p - q)(p + 3q) - (p^2 + 3q^2).$

а) Для упрощения выражения $(a^2 - 7)(a + 2) - (2a - 1)(a - 14)$ сначала раскроем скобки в каждом произведении.

1. Раскроем первые скобки: $(a^2 - 7)(a + 2) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 2 - 7 \cdot a - 7 \cdot 2 = a^3 + 2a^2 - 7a - 14$.

2. Раскроем вторые скобки: $(2a - 1)(a - 14) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-14) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-14) = 2a^2 - 28a - a + 14 = 2a^2 - 29a + 14$.

3. Подставим полученные выражения в исходное: $(a^3 + 2a^2 - 7a - 14) - (2a^2 - 29a + 14)$.

4. Раскроем скобки, учитывая знак минус, и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + 2a^2 - 7a - 14 - 2a^2 + 29a - 14 = a^3 + (2a^2 - 2a^2) + (-7a + 29a) + (-14 - 14) = a^3 + 22a - 28$.

Ответ: $a^3 + 22a - 28$.

б) Для упрощения выражения $(2 - b)(1 + 2b) + (1 + b)(b^3 - 3b)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки: $(2 - b)(1 + 2b) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2b - b \cdot 1 - b \cdot 2b = 2 + 4b - b - 2b^2 = 2 + 3b - 2b^2$.

2. Раскроем вторые скобки: $(1 + b)(b^3 - 3b) = 1 \cdot b^3 + 1 \cdot (-3b) + b \cdot b^3 + b \cdot (-3b) = b^3 - 3b + b^4 - 3b^2$.

3. Сложим полученные многочлены:

$(2 + 3b - 2b^2) + (b^4 + b^3 - 3b - 3b^2) = 2 + 3b - 2b^2 + b^4 + b^3 - 3b - 3b^2$.

4. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их по убыванию степеней:

$b^4 + b^3 + (-2b^2 - 3b^2) + (3b - 3b) + 2 = b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$.

Ответ: $b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$.

в) Для упрощения выражения $2x^2 - (x - 2y)(2x + y)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем скобки в произведении: $(x - 2y)(2x + y) = x \cdot 2x + x \cdot y - 2y \cdot 2x - 2y \cdot y = 2x^2 + xy - 4xy - 2y^2 = 2x^2 - 3xy - 2y^2$.

2. Подставим полученное выражение в исходное:

$2x^2 - (2x^2 - 3xy - 2y^2) = 2x^2 - 2x^2 + 3xy + 2y^2$.

3. Приведем подобные слагаемые: $(2x^2 - 2x^2) + 3xy + 2y^2 = 3xy + 2y^2$.

Ответ: $3xy + 2y^2$.

г) Для упрощения выражения $(m - 3n)(m + 2n) - m(m - n)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки: $(m - 3n)(m + 2n) = m^2 + 2mn - 3mn - 6n^2 = m^2 - mn - 6n^2$.

2. Раскроем вторые скобки: $m(m - n) = m^2 - mn$.

3. Подставим полученные выражения в исходное:

$(m^2 - mn - 6n^2) - (m^2 - mn) = m^2 - mn - 6n^2 - m^2 + mn$.

4. Приведем подобные слагаемые: $(m^2 - m^2) + (-mn + mn) - 6n^2 = -6n^2$.

Ответ: $-6n^2$.

д) Для упрощения выражения $(a - 2b)(b + 4a) - 7b(a + b)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки: $(a - 2b)(b + 4a) = a \cdot b + a \cdot 4a - 2b \cdot b - 2b \cdot 4a = ab + 4a^2 - 2b^2 - 8ab = 4a^2 - 7ab - 2b^2$.

2. Раскроем вторые скобки: $-7b(a + b) = -7ab - 7b^2$.

3. Сложим полученные выражения:

$(4a^2 - 7ab - 2b^2) + (-7ab - 7b^2) = 4a^2 - 7ab - 2b^2 - 7ab - 7b^2$.

4. Приведем подобные слагаемые: $4a^2 + (-7ab - 7ab) + (-2b^2 - 7b^2) = 4a^2 - 14ab - 9b^2$.

Ответ: $4a^2 - 14ab - 9b^2$.

е) Для упрощения выражения $(p - q)(p + 3q) - (p^2 + 3q^2)$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

1. Раскроем первые скобки: $(p - q)(p + 3q) = p^2 + 3pq - qp - 3q^2 = p^2 + 2pq - 3q^2$.

2. Подставим полученное выражение в исходное:

$(p^2 + 2pq - 3q^2) - (p^2 + 3q^2) = p^2 + 2pq - 3q^2 - p^2 - 3q^2$.

3. Приведем подобные слагаемые: $(p^2 - p^2) + 2pq + (-3q^2 - 3q^2) = 2pq - 6q^2$.

Ответ: $2pq - 6q^2$.

781. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных:

a) $126y^3 + (x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$ при $x = -3$, $y = -2$;

б) $m^3 + n^3 - (m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$ при $m = -3$, $n = 4$.

а) $126y^3 + (x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$ при $x = -3, y = -2$

Сначала упростим данное выражение. Заметим, что часть выражения $(x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$ можно преобразовать, поменяв местами слагаемые во второй скобке: $(x - 5y)(x^2 + 5xy + (5y)^2)$.

Это выражение соответствует формуле разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 5y$.

Следовательно, $(x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2) = x^3 - (5y)^3 = x^3 - 125y^3$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$126y^3 + (x^3 - 125y^3) = 126y^3 + x^3 - 125y^3 = x^3 + (126 - 125)y^3 = x^3 + y^3$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения $x^3 + y^3$ при $x = -3$ и $y = -2$:

$(-3)^3 + (-2)^3 = -27 + (-8) = -27 - 8 = -35$.

Ответ: -35

б) $m^3 + n^3 - (m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$ при $m = -3, n = 4$

Сначала упростим выражение. Раскроем скобки в части $(m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$:

$(m^2 - 2mn - n^2)(m - n) = m(m^2 - 2mn - n^2) - n(m^2 - 2mn - n^2) = $

$= m^3 - 2m^2n - mn^2 - m^2n + 2mn^2 + n^3 = m^3 - 3m^2n + mn^2 + n^3$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$m^3 + n^3 - (m^3 - 3m^2n + mn^2 + n^3) = m^3 + n^3 - m^3 + 3m^2n - mn^2 - n^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$(m^3 - m^3) + (n^3 - n^3) + 3m^2n - mn^2 = 3m^2n - mn^2$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения $3m^2n - mn^2$ при $m = -3$ и $n = 4$:

$3(-3)^2(4) - (-3)(4)^2 = 3(9)(4) - (-3)(16) = 108 - (-48) = 108 + 48 = 156$.

Ответ: 156

784. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что произведение первых двух из этих чисел на 38 меньше произведения двух следующих.

Пусть искомые четыре последовательных натуральных числа это $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$, где $n$ — наименьшее из этих чисел.

Произведение первых двух чисел равно $n(n+1)$.

Произведение двух следующих чисел равно $(n+2)(n+3)$.

Согласно условию задачи, произведение первых двух чисел на 38 меньше, чем произведение двух следующих. Это можно записать в виде уравнения:

$(n+2)(n+3) - n(n+1) = 38$

Или, что то же самое:

$n(n+1) + 38 = (n+2)(n+3)$

Раскроем скобки в уравнении:

$n^2 + n + 38 = n^2 + 2n + 3n + 6$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$n^2 + n + 38 = n^2 + 5n + 6$

Вычтем $n^2$ из обеих частей уравнения, чтобы его упростить:

$n + 38 = 5n + 6$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $n$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$38 - 6 = 5n - n$

$32 = 4n$

Чтобы найти $n$, разделим обе части на 4:

$n = \frac{32}{4}$

$n = 8$

Мы нашли первое число. Теперь можем найти и остальные три:

Первое число: $n = 8$
Второе число: $n+1 = 8+1 = 9$
Третье число: $n+2 = 8+2 = 10$
Четвертое число: $n+3 = 8+3 = 11$

Таким образом, искомые числа — 8, 9, 10, 11.

Выполним проверку для найденных чисел:

Произведение первых двух: $8 \times 9 = 72$.
Произведение двух следующих: $10 \times 11 = 110$.

Проверим разность: $110 - 72 = 38$.

Условие задачи выполняется, так как произведение первых двух чисел действительно на 38 меньше произведения двух следующих.

Ответ: 8, 9, 10, 11.

779. Докажите, что выражение $(y + 8)(y - 7) - 4(0,25y - 16)$ при любом значении $y$ принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что выражение $(y + 8)(y - 7) - 4(0,25y - 16)$ принимает положительные значения при любом значении y, необходимо его упростить.

1. Раскроем скобки в произведении $(y + 8)(y - 7)$, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(y + 8)(y - 7) = y \cdot y + y \cdot (-7) + 8 \cdot y + 8 \cdot (-7) = y^2 - 7y + 8y - 56$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (-7y + 8y) - 56 = y^2 + y - 56$

2. Теперь раскроем скобки во второй части выражения $-4(0,25y - 16)$, умножив $-4$ на каждый член в скобках:

$-4(0,25y - 16) = -4 \cdot 0,25y - 4 \cdot (-16) = -1y + 64 = -y + 64$

3. Теперь объединим упрощенные части и снова приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + y - 56) + (-y + 64) = y^2 + y - 56 - y + 64 = y^2 + (y - y) + (-56 + 64) = y^2 + 8$

4. Мы получили выражение $y^2 + 8$. Проанализируем его.

Для любого действительного числа y, его квадрат $y^2$ всегда будет неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.

• Если $y > 0$, то $y^2 > 0$.
• Если $y < 0$, то $y^2 > 0$.
• Если $y = 0$, то $y^2 = 0$.

Таким образом, наименьшее возможное значение для $y^2$ равно 0.

Следовательно, наименьшее значение для всего выражения $y^2 + 8$ достигается при $y=0$ и равно $0 + 8 = 8$.

Поскольку $8 > 0$, то и значение выражения $y^2 + 8$ всегда будет положительным при любом значении y. Что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $y^2 + 8$. Так как $y^2 \ge 0$ для любого значения y, то наименьшее значение выражения $y^2 + 8$ равно $8$, что является положительным числом. Следовательно, выражение всегда принимает положительные значения.

782. Докажите, что значения выражения не зависят от значения переменной:

а) $(a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5);$

б) $(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4);$

в) $(b^2 + 4b - 5)(b - 2) + (3 - b)(b^2 + 5b + 2).$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо упростить его. Если в результате упрощения переменная сократится и останется только числовое значение, то утверждение будет доказано.

Рассмотрим выражение $(a - 3)(a^2 - 8a + 5) - (a - 8)(a^2 - 3a + 5)$.

Сначала раскроем скобки в первом произведении многочленов:

$(a - 3)(a^2 - 8a + 5) = a \cdot a^2 + a \cdot (-8a) + a \cdot 5 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-8a) - 3 \cdot 5 = a^3 - 8a^2 + 5a - 3a^2 + 24a - 15$.

Приведем подобные слагаемые: $a^3 - (8a^2 + 3a^2) + (5a + 24a) - 15 = a^3 - 11a^2 + 29a - 15$.

Теперь раскроем скобки во втором произведении:

$(a - 8)(a^2 - 3a + 5) = a \cdot a^2 + a \cdot (-3a) + a \cdot 5 - 8 \cdot a^2 - 8 \cdot (-3a) - 8 \cdot 5 = a^3 - 3a^2 + 5a - 8a^2 + 24a - 40$.

Приведем подобные слагаемые: $a^3 - (3a^2 + 8a^2) + (5a + 24a) - 40 = a^3 - 11a^2 + 29a - 40$.

Теперь выполним вычитание полученных выражений:

$(a^3 - 11a^2 + 29a - 15) - (a^3 - 11a^2 + 29a - 40) = a^3 - 11a^2 + 29a - 15 - a^3 + 11a^2 - 29a + 40$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(a^3 - a^3) + (-11a^2 + 11a^2) + (29a - 29a) + (-15 + 40) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$.

Результатом является число 25, которое не зависит от значения переменной $a$. Утверждение доказано.

Ответ: 25.

б) Рассмотрим выражение $(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) - (2x^2 + 7x + 17)(x - 4)$.

Упростим его, раскрыв скобки. Сначала первое произведение:

$(x^2 - 3x + 2)(2x + 5) = x^2(2x + 5) - 3x(2x + 5) + 2(2x + 5) = 2x^3 + 5x^2 - 6x^2 - 15x + 4x + 10$.

Приведем подобные: $2x^3 - x^2 - 11x + 10$.

Теперь второе произведение:

$(2x^2 + 7x + 17)(x - 4) = 2x^2(x - 4) + 7x(x - 4) + 17(x - 4) = 2x^3 - 8x^2 + 7x^2 - 28x + 17x - 68$.

Приведем подобные: $2x^3 - x^2 - 11x - 68$.

Теперь вычтем второе упрощенное выражение из первого:

$(2x^3 - x^2 - 11x + 10) - (2x^3 - x^2 - 11x - 68) = 2x^3 - x^2 - 11x + 10 - 2x^3 + x^2 + 11x + 68$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(2x^3 - 2x^3) + (-x^2 + x^2) + (-11x + 11x) + (10 + 68) = 0 + 0 + 0 + 78 = 78$.

Результатом является число 78, которое не зависит от значения переменной $x$. Утверждение доказано.

Ответ: 78.

в) Рассмотрим выражение $(b^2 + 4b - 5)(b - 2) + (3 - b)(b^2 + 5b + 2)$.

Раскроем скобки в первом произведении:

$(b^2 + 4b - 5)(b - 2) = b^2(b - 2) + 4b(b - 2) - 5(b - 2) = b^3 - 2b^2 + 4b^2 - 8b - 5b + 10$.

Приведем подобные: $b^3 + 2b^2 - 13b + 10$.

Раскроем скобки во втором произведении:

$(3 - b)(b^2 + 5b + 2) = 3(b^2 + 5b + 2) - b(b^2 + 5b + 2) = 3b^2 + 15b + 6 - b^3 - 5b^2 - 2b$.

Приведем подобные: $-b^3 - 2b^2 + 13b + 6$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(b^3 + 2b^2 - 13b + 10) + (-b^3 - 2b^2 + 13b + 6) = b^3 + 2b^2 - 13b + 10 - b^3 - 2b^2 + 13b + 6$.

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$(b^3 - b^3) + (2b^2 - 2b^2) + (-13b + 13b) + (10 + 6) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$.

Результатом является число 16, которое не зависит от значения переменной $b$. Утверждение доказано.

Ответ: 16.

777. Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену:

а) $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$;

б) $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$;

в) $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$;

г) $(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$.

а) Чтобы доказать, что выражение $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$ тождественно равно двучлену, раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x(x^2 - xy + y^2) + y(x^2 - xy + y^2) = x \cdot x^2 - x \cdot xy + x \cdot y^2 + y \cdot x^2 - y \cdot xy + y \cdot y^2 = x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) + y^3 = x^3 + 0 + 0 + y^3 = x^3 + y^3$.

Это выражение является известной формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$.

Полученное выражение $x^3 + y^3$ является двучленом (состоит из двух членов), что и требовалось доказать.

Ответ: $x^3 + y^3$.

б) Чтобы доказать, что выражение $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$ тождественно равно двучлену, раскроем скобки:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x(x^2 + xy + y^2) - y(x^2 + xy + y^2) = x \cdot x^2 + x \cdot xy + x \cdot y^2 - y \cdot x^2 - y \cdot xy - y \cdot y^2 = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (x^2y - x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 + 0 + 0 - y^3 = x^3 - y^3$.

Это выражение является известной формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

Полученное выражение $x^3 - y^3$ является двучленом, что и требовалось доказать.

Ответ: $x^3 - y^3$.

в) Чтобы доказать, что выражение $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$ тождественно равно двучлену, раскроем скобки:

$(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) = a(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) + b(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$

$= a \cdot a^3 - a \cdot a^2b + a \cdot ab^2 - a \cdot b^3 + b \cdot a^3 - b \cdot a^2b + b \cdot ab^2 - b \cdot b^3$

$= a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4$.

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$.

Полученное выражение $a^4 - b^4$ является двучленом, что и требовалось доказать.

Ответ: $a^4 - b^4$.

г) Чтобы доказать, что выражение $(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$ тождественно равно двучлену, раскроем скобки:

$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) - b(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$

$= a \cdot a^3 + a \cdot a^2b + a \cdot ab^2 + a \cdot b^3 - (b \cdot a^3 + b \cdot a^2b + b \cdot ab^2 + b \cdot b^3)$

$= a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (a^3b - a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (ab^3 - ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$.

Полученное выражение $a^4 - b^4$ является двучленом, что и требовалось доказать.

Ответ: $a^4 - b^4$.

780. Докажите, что значение выражения:

а) $(3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2)$ делится на 24;

б) $(2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3)$ делится на 60;

в) $(16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3)$ делится на 63;

г) $(125^2 + 25^2)(5^2 - 1)$ делится на 39.

а) Для доказательства того, что значение выражения $(3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2)$ делится на 24, преобразуем его. Вынесем общие множители в каждой скобке:
Первая скобка: $3^5 - 3^4 = 3^4(3 - 1) = 3^4 \cdot 2$.
Вторая скобка: $3^3 + 3^2 = 3^2(3 + 1) = 3^2 \cdot 4$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$(3^4 \cdot 2) \cdot (3^2 \cdot 4) = 3^{4+2} \cdot (2 \cdot 4) = 3^6 \cdot 8$.
Нам нужно доказать делимость на $24$. Разложим 24 на множители: $24 = 3 \cdot 8$.
Наше выражение $3^6 \cdot 8$ можно представить как $3^5 \cdot 3 \cdot 8 = 3^5 \cdot 24$.
Поскольку выражение является произведением целого числа $3^5$ и 24, оно делится на 24.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что значение выражения $(2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3)$ делится на 60. Упростим выражение, вынося общие множители:
Первая скобка: $2^{10} + 2^8 = 2^8(2^2 + 1) = 2^8(4 + 1) = 2^8 \cdot 5$.
Вторая скобка: $2^5 - 2^3 = 2^3(2^2 - 1) = 2^3(4 - 1) = 2^3 \cdot 3$.
Перемножим упрощенные части:
$(2^8 \cdot 5) \cdot (2^3 \cdot 3) = 2^{8+3} \cdot (5 \cdot 3) = 2^{11} \cdot 15$.
Нам нужно доказать делимость на $60$. Разложим 60 на множители: $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 15$.
Представим наше выражение $2^{11} \cdot 15$ в следующем виде: $2^9 \cdot 2^2 \cdot 15 = 2^9 \cdot (2^2 \cdot 15) = 2^9 \cdot 60$.
Так как выражение является произведением целого числа $2^9$ и 60, оно делится на 60.
Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем, что значение выражения $(16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3)$ делится на 63. Сначала представим все основания степеней как степени двойки: $16=2^4$, $8=2^3$, $4=2^2$.
Выражение примет вид: $((2^4)^3 - (2^3)^3)((2^2)^3 + 2^3) = (2^{12} - 2^9)(2^6 + 2^3)$.
Теперь вынесем общие множители в каждой скобке:
Первая скобка: $2^{12} - 2^9 = 2^9(2^3 - 1) = 2^9(8 - 1) = 2^9 \cdot 7$.
Вторая скобка: $2^6 + 2^3 = 2^3(2^3 + 1) = 2^3(8 + 1) = 2^3 \cdot 9$.
Перемножим полученные выражения:
$(2^9 \cdot 7) \cdot (2^3 \cdot 9) = 2^{9+3} \cdot (7 \cdot 9) = 2^{12} \cdot 63$.
Полученное выражение $2^{12} \cdot 63$ очевидно делится на 63, так как является произведением целого числа $2^{12}$ и 63.
Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Докажем, что значение выражения $(125^2 + 25^2)(5^2 - 1)$ делится на 39. Представим основания степеней как степени пятерки: $125=5^3$, $25=5^2$.
Выражение примет вид: $((5^3)^2 + (5^2)^2)(5^2 - 1) = (5^6 + 5^4)(25 - 1) = (5^6 + 5^4) \cdot 24$.
Вынесем общий множитель в первой скобке:
$5^6 + 5^4 = 5^4(5^2 + 1) = 5^4(25 + 1) = 5^4 \cdot 26$.
Таким образом, все выражение равно $(5^4 \cdot 26) \cdot 24$.
Нам нужно доказать делимость на $39$. Разложим 39 на простые множители: $39 = 3 \cdot 13$.
Рассмотрим множители в нашем выражении: $5^4 \cdot 26 \cdot 24$. Мы видим, что $26 = 2 \cdot 13$ и $24 = 3 \cdot 8$.
Сгруппируем множители: $5^4 \cdot (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 8) = 5^4 \cdot 2 \cdot 8 \cdot (13 \cdot 3) = 5^4 \cdot 16 \cdot 39$.
Поскольку выражение является произведением целого числа $5^4 \cdot 16$ и 39, оно делится на 39.
Ответ: Что и требовалось доказать.

783. Докажите, что:

а) сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

а) сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;

Обозначим первое из пяти последовательных натуральных чисел через $n$. Тогда следующие четыре числа будут $n+1$, $n+2$, $n+3$ и $n+4$. По условию, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \mathbb{N}$.

Найдем сумму $S$ этих пяти чисел:

$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$

Сгруппируем и сложим переменные и константы:

$S = (n+n+n+n+n) + (0+1+2+3+4) = 5n + 10$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$S = 5(n+2)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n+2$ также является натуральным числом. Сумма $S$ представляет собой произведение числа 5 и натурального числа $(n+2)$. Следовательно, сумма $S$ делится на 5 без остатка, то есть кратна 5.

Ответ: Доказано, что сумма пяти последовательных натуральных чисел всегда кратна 5.

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Обозначим первое из четырех последовательных нечётных чисел как $2k+1$.

Каждое следующее нечётное число на 2 больше предыдущего. Таким образом, последовательность из четырех нечётных чисел можно записать как:

$2k+1, 2k+3, 2k+5, 2k+7$

Найдем сумму $S$ этих четырех чисел:

$S = (2k+1) + (2k+3) + (2k+5) + (2k+7)$

Сгруппируем и сложим слагаемые:

$S = (2k+2k+2k+2k) + (1+3+5+7) = 8k + 16$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$S = 8(k+2)$

Так как $k$ — целое неотрицательное число, то $k+2$ является натуральным числом. Сумма $S$ представляет собой произведение числа 8 и натурального числа $(k+2)$. Следовательно, сумма $S$ делится на 8 без остатка, то есть кратна 8.

Ответ: Доказано, что сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8.