Номер 777, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 777, страница 160.

Условие.

777. Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену:

а) $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$;

б) $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$;

в) $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$;

г) $(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что выражение $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$ тождественно равно двучлену, раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x(x^2 - xy + y^2) + y(x^2 - xy + y^2) = x \cdot x^2 - x \cdot xy + x \cdot y^2 + y \cdot x^2 - y \cdot xy + y \cdot y^2 = x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) + y^3 = x^3 + 0 + 0 + y^3 = x^3 + y^3$.

Это выражение является известной формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$.

Полученное выражение $x^3 + y^3$ является двучленом (состоит из двух членов), что и требовалось доказать.

Ответ: $x^3 + y^3$.

б) Чтобы доказать, что выражение $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$ тождественно равно двучлену, раскроем скобки:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x(x^2 + xy + y^2) - y(x^2 + xy + y^2) = x \cdot x^2 + x \cdot xy + x \cdot y^2 - y \cdot x^2 - y \cdot xy - y \cdot y^2 = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (x^2y - x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 + 0 + 0 - y^3 = x^3 - y^3$.

Это выражение является известной формулой разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

Полученное выражение $x^3 - y^3$ является двучленом, что и требовалось доказать.

Ответ: $x^3 - y^3$.

в) Чтобы доказать, что выражение $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$ тождественно равно двучлену, раскроем скобки:

$(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) = a(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) + b(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$

$= a \cdot a^3 - a \cdot a^2b + a \cdot ab^2 - a \cdot b^3 + b \cdot a^3 - b \cdot a^2b + b \cdot ab^2 - b \cdot b^3$

$= a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4$.

Теперь приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$.

Полученное выражение $a^4 - b^4$ является двучленом, что и требовалось доказать.

Ответ: $a^4 - b^4$.

г) Чтобы доказать, что выражение $(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$ тождественно равно двучлену, раскроем скобки:

$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) - b(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$

$= a \cdot a^3 + a \cdot a^2b + a \cdot ab^2 + a \cdot b^3 - (b \cdot a^3 + b \cdot a^2b + b \cdot ab^2 + b \cdot b^3)$

$= a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (a^3b - a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (ab^3 - ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$.

Полученное выражение $a^4 - b^4$ является двучленом, что и требовалось доказать.

Ответ: $a^4 - b^4$.