Номер 783, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 783, страница 160.

Условие.

783. Докажите, что:

а) сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;

Обозначим первое из пяти последовательных натуральных чисел через $n$. Тогда следующие четыре числа будут $n+1$, $n+2$, $n+3$ и $n+4$. По условию, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \mathbb{N}$.

Найдем сумму $S$ этих пяти чисел:

$S = n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4)$

Сгруппируем и сложим переменные и константы:

$S = (n+n+n+n+n) + (0+1+2+3+4) = 5n + 10$

Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$S = 5(n+2)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n+2$ также является натуральным числом. Сумма $S$ представляет собой произведение числа 5 и натурального числа $(n+2)$. Следовательно, сумма $S$ делится на 5 без остатка, то есть кратна 5.

Ответ: Доказано, что сумма пяти последовательных натуральных чисел всегда кратна 5.

б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \ge 0$). Обозначим первое из четырех последовательных нечётных чисел как $2k+1$.

Каждое следующее нечётное число на 2 больше предыдущего. Таким образом, последовательность из четырех нечётных чисел можно записать как:

$2k+1, 2k+3, 2k+5, 2k+7$

Найдем сумму $S$ этих четырех чисел:

$S = (2k+1) + (2k+3) + (2k+5) + (2k+7)$

Сгруппируем и сложим слагаемые:

$S = (2k+2k+2k+2k) + (1+3+5+7) = 8k + 16$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$S = 8(k+2)$

Так как $k$ — целое неотрицательное число, то $k+2$ является натуральным числом. Сумма $S$ представляет собой произведение числа 8 и натурального числа $(k+2)$. Следовательно, сумма $S$ делится на 8 без остатка, то есть кратна 8.

Ответ: Доказано, что сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8.