Номер 779, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 779, страница 160.

Условие.

779. Докажите, что выражение $(y + 8)(y - 7) - 4(0,25y - 16)$ при любом значении $y$ принимает положительные значения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что выражение $(y + 8)(y - 7) - 4(0,25y - 16)$ принимает положительные значения при любом значении y, необходимо его упростить.

1. Раскроем скобки в произведении $(y + 8)(y - 7)$, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):

$(y + 8)(y - 7) = y \cdot y + y \cdot (-7) + 8 \cdot y + 8 \cdot (-7) = y^2 - 7y + 8y - 56$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (-7y + 8y) - 56 = y^2 + y - 56$

2. Теперь раскроем скобки во второй части выражения $-4(0,25y - 16)$, умножив $-4$ на каждый член в скобках:

$-4(0,25y - 16) = -4 \cdot 0,25y - 4 \cdot (-16) = -1y + 64 = -y + 64$

3. Теперь объединим упрощенные части и снова приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + y - 56) + (-y + 64) = y^2 + y - 56 - y + 64 = y^2 + (y - y) + (-56 + 64) = y^2 + 8$

4. Мы получили выражение $y^2 + 8$. Проанализируем его.

Для любого действительного числа y, его квадрат $y^2$ всегда будет неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.

• Если $y > 0$, то $y^2 > 0$.
• Если $y < 0$, то $y^2 > 0$.
• Если $y = 0$, то $y^2 = 0$.

Таким образом, наименьшее возможное значение для $y^2$ равно 0.

Следовательно, наименьшее значение для всего выражения $y^2 + 8$ достигается при $y=0$ и равно $0 + 8 = 8$.

Поскольку $8 > 0$, то и значение выражения $y^2 + 8$ всегда будет положительным при любом значении y. Что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $y^2 + 8$. Так как $y^2 \ge 0$ для любого значения y, то наименьшее значение выражения $y^2 + 8$ равно $8$, что является положительным числом. Следовательно, выражение всегда принимает положительные значения.