Страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

796. При каком значении $a$ произведение

$(x^3 + 4x^2 - 17x + 41)(x + a)$

тождественно равно многочлену, не содержащему $x^3$?

Для того чтобы произведение $(x^3 + 4x^2 - 17x + 41)(x + a)$ не содержало член $x^3$, необходимо найти коэффициент при $x^3$ в результирующем многочлене и приравнять его к нулю.

Раскроем скобки, выполнив умножение многочленов. Нам не обязательно вычислять все члены произведения, достаточно найти только те, которые в результате дадут $x^3$.

Член $x^3$ может быть получен двумя способами:

1. Умножением члена $x^3$ из первого многочлена на постоянный член $a$ из второго многочлена: $x^3 \cdot a = ax^3$.
2. Умножением члена $4x^2$ из первого многочлена на член $x$ из второго многочлена: $4x^2 \cdot x = 4x^3$.

Сложим эти два члена, чтобы получить общий член с $x^3$ в результирующем многочлене:

$ax^3 + 4x^3 = (a + 4)x^3$

Коэффициент при $x^3$ равен $(a + 4)$.

По условию задачи, многочлен не должен содержать $x^3$, значит, этот коэффициент должен быть равен нулю:

$a + 4 = 0$

Решим это простое уравнение относительно a:

$a = -4$

Ответ: $a = -4$

794. Докажите, что:

а) $a(x + 6) + x(x - 3a) = 9$ при $x = 2a - 3;$

б) $x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13$ при $x = a + 3.$

а)

Чтобы доказать тождество, необходимо подставить выражение для $x$ в левую часть уравнения и упростить его. Сначала преобразуем левую часть уравнения:
$a(x + 6) + x(x - 3a) = ax + 6a + x^2 - 3ax = x^2 - 2ax + 6a$.

Теперь подставим в полученное выражение значение $x = 2a - 3$:
$(2a - 3)^2 - 2a(2a - 3) + 6a$

Раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(4a^2 - 12a + 9) - (4a^2 - 6a) + 6a$

Теперь приведем подобные слагаемые:
$4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 6a + 6a = (4a^2 - 4a^2) + (-12a + 6a + 6a) + 9 = 0 + 0 + 9 = 9$.

Левая часть уравнения равна 9, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Равенство $a(x + 6) + x(x - 3a) = 9$ при $x = 2a - 3$ доказано.

б)

Для доказательства данного тождества также упростим его левую часть. Раскроем скобки:
$x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = x^2 - 3ax + a^2 + ax + 4$.

Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 2ax + a^2 + 4$.

Можно заметить, что первые три члена $x^2 - 2ax + a^2$ представляют собой полный квадрат разности $(x - a)^2$. Таким образом, выражение можно переписать в виде:
$(x - a)^2 + 4$.

Из условия задачи нам дано, что $x = a + 3$. Отсюда следует, что $x - a = 3$.

Подставим значение $(x - a) = 3$ в преобразованное выражение:
$(3)^2 + 4 = 9 + 4 = 13$.

Левая часть уравнения равна 13, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Равенство $x(x - 3a) + a(a + x) + 4 = 13$ при $x = a + 3$ доказано.

797. Докажите, что если $b + c = 10$, то

$(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc.$

Воспользовавшись этой формулой, вычислите:

a) $23 \cdot 27;$

б) $42 \cdot 48;$

в) $59 \cdot 51;$

г) $84 \cdot 86.$

Докажем тождество. Раскроем скобки в левой части выражения:

$(10a + b)(10a + c) = (10a)^2 + 10ac + 10ab + bc = 100a^2 + 10a(b+c) + bc$

По условию $b + c = 10$. Подставим это значение в полученное выражение:

$100a^2 + 10a(10) + bc = 100a^2 + 100a + bc$

Вынесем общий множитель $100a$ за скобки:

$100a(a + 1) + bc$

Мы получили правую часть исходного тождества. Таким образом, доказано, что если $b + c = 10$, то $(10a + b)(10a + c) = 100a(a + 1) + bc$.

Воспользуемся этой формулой для вычислений.

а) Для выражения $23 \cdot 27$ имеем: $a=2$, $b=3$, $c=7$. Проверяем условие: $b+c = 3+7=10$.
$23 \cdot 27 = (10 \cdot 2 + 3)(10 \cdot 2 + 7) = 100 \cdot 2(2+1) + 3 \cdot 7 = 100 \cdot 2 \cdot 3 + 21 = 600 + 21 = 621$.
Ответ: 621.

б) Для выражения $42 \cdot 48$ имеем: $a=4$, $b=2$, $c=8$. Проверяем условие: $b+c = 2+8=10$.
$42 \cdot 48 = (10 \cdot 4 + 2)(10 \cdot 4 + 8) = 100 \cdot 4(4+1) + 2 \cdot 8 = 100 \cdot 4 \cdot 5 + 16 = 2000 + 16 = 2016$.
Ответ: 2016.

в) Для выражения $59 \cdot 51$ имеем: $a=5$, $b=9$, $c=1$. Проверяем условие: $b+c = 9+1=10$.
$59 \cdot 51 = (10 \cdot 5 + 9)(10 \cdot 5 + 1) = 100 \cdot 5(5+1) + 9 \cdot 1 = 100 \cdot 5 \cdot 6 + 9 = 3000 + 9 = 3009$.
Ответ: 3009.

г) Для выражения $84 \cdot 86$ имеем: $a=8$, $b=4$, $c=6$. Проверяем условие: $b+c = 4+6=10$.
$84 \cdot 86 = (10 \cdot 8 + 4)(10 \cdot 8 + 6) = 100 \cdot 8(8+1) + 4 \cdot 6 = 100 \cdot 8 \cdot 9 + 24 = 7200 + 24 = 7224$.
Ответ: 7224.

795. Докажите тождество:

a) $(y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^4(y + 1)(y - 1);$

б) $(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3);$

в) $(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4;$

г) $(c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = c^8 + c^4 + 1.$

а) Чтобы доказать тождество $(y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^4(y + 1)(y - 1)$, преобразуем его левую часть. Вынесем общие множители за скобки в каждом из двучленов.

Из первого множителя $(y^4 + y^3)$ можно вынести $y^3$:
$y^4 + y^3 = y^3(y + 1)$

Из второго множителя $(y^2 - y)$ можно вынести $y$:
$y^2 - y = y(y - 1)$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(y^4 + y^3)(y^2 - y) = (y^3(y + 1)) \cdot (y(y - 1))$

Сгруппируем множители и упростим:

$y^3 \cdot y \cdot (y + 1)(y - 1) = y^{3+1}(y + 1)(y - 1) = y^4(y + 1)(y - 1)$

Левая часть тождества после преобразований стала идентична правой части. Тождество доказано.

Ответ: $(y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^3(y+1) \cdot y(y-1) = y^4(y+1)(y-1)$. Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)$, разложим на множители выражения в скобках в левой части.

Разложим первый множитель $(a^2 + 3a)$, вынеся общий множитель $a$ за скобку:

$a^2 + 3a = a(a + 3)$

Разложим второй множитель, квадратный трехчлен $a^2 + 3a + 2$. Для этого найдем корни уравнения $a^2 + 3a + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $a_1 + a_2 = -3$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 2$. Этим условиям удовлетворяют корни $a_1 = -1$ и $a_2 = -2$.

Следовательно, трехчлен можно разложить на множители: $a^2 + 3a + 2 = (a - (-1))(a - (-2)) = (a + 1)(a + 2)$.

Подставим разложенные выражения в левую часть исходного равенства:

$(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = (a(a + 3)) \cdot ((a + 1)(a + 2))$

Переставив множители, получим:

$a(a + 1)(a + 2)(a + 3)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.

Ответ: $(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a+3)(a+1)(a+2) = a(a+1)(a+2)(a+3)$. Тождество доказано.

в) Докажем тождество $(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4$.

Преобразуем левую часть. Для удобства сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы применить формулу разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

$(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = ((a^2 + b^2) + ab)((a^2 + b^2) - ab)$

Пусть $x = a^2 + b^2$ и $y = ab$. Тогда выражение принимает вид $(x+y)(x-y)$.

Применим формулу разности квадратов:

$(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$

Теперь раскроем скобки. Сначала возведем в квадрат сумму $(a^2 + b^2)$ по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

Далее, $(ab)^2 = a^2b^2$.

Подставим полученные выражения обратно и упростим:

$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = a^4 + (2a^2b^2 - a^2b^2) + b^4 = a^4 + a^2b^2 + b^4$

Левая часть после преобразований стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $((a^2 + b^2) + ab)((a^2 + b^2) - ab) = (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 - a^2b^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4$. Тождество доказано.

г) Докажем тождество $(c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = c^8 + c^4 + 1$.

Преобразуем левую часть, используя тот же метод, что и в пункте в). Сгруппируем слагаемые так, чтобы применить формулу разности квадратов.

$(c^4 + 1 - c^2)(c^4 + 1 + c^2) = ((c^4 + 1) - c^2)((c^4 + 1) + c^2)$

Здесь можно применить формулу $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = c^4 + 1$ и $y = c^2$.

$(c^4 + 1)^2 - (c^2)^2$

Раскроем скобки. Возведем в квадрат сумму $(c^4+1)$:

$(c^4+1)^2 = (c^4)^2 + 2 \cdot c^4 \cdot 1 + 1^2 = c^8 + 2c^4 + 1$

Возведем в квадрат $c^2$:

$(c^2)^2 = c^4$

Подставим результаты в наше выражение и приведем подобные слагаемые:

$(c^8 + 2c^4 + 1) - c^4 = c^8 + (2c^4 - c^4) + 1 = c^8 + c^4 + 1$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.

Ответ: $((c^4 + 1) - c^2)((c^4 + 1) + c^2) = (c^4 + 1)^2 - (c^2)^2 = c^8 + 2c^4 + 1 - c^4 = c^8 + c^4 + 1$. Тождество доказано.

798. Докажите, что:

а) если $ab + c^2 = 0$, то $(a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = 0$;

б) если $a + b = 9$, то $(a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 18$.

а)

Нам нужно доказать, что если $ab + c^2 = 0$, то $(a + c)(b + c) + (a - c)(b - c) = 0$.

Для доказательства преобразуем левую часть доказываемого равенства. Сначала раскроем скобки в каждом произведении:

$(a + c)(b + c) = ab + ac + bc + c^2$

$(a - c)(b - c) = ab - ac - bc + c^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(ab + ac + bc + c^2) + (ab - ac - bc + c^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ab + ab + ac - ac + bc - bc + c^2 + c^2 = 2ab + 2c^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(ab + c^2)$

По условию задачи нам дано, что $ab + c^2 = 0$. Подставим это значение в наше упрощенное выражение:

$2 \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна 0. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.

б)

Нам нужно доказать, что если $a + b = 9$, то $(a + 1)(b + 1) - (a - 1)(b - 1) = 18$.

Для доказательства преобразуем левую часть доказываемого равенства. Сначала раскроем скобки в каждом произведении:

$(a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1$

$(a - 1)(b - 1) = ab - a - b + 1$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(ab + a + b + 1) - (ab - a - b + 1)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ab + a + b + 1 - ab + a + b - 1 = (ab - ab) + (a + a) + (b + b) + (1 - 1) = 2a + 2b$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a + b)$

По условию задачи нам дано, что $a + b = 9$. Подставим это значение в наше упрощенное выражение:

$2 \cdot 9 = 18$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства равна 18. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано.