Страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

826. При каком значении $x$:

а) квадрат двучлена $x+1$ на 120 больше квадрата двучлена $x-3$;

б) квадрат двучлена $2x+10$ в 4 раза больше квадрата двучлена $x-5$?

а)

Согласно условию, квадрат двучлена $x + 1$ на 120 больше квадрата двучлена $x - 3$. Это можно записать в виде уравнения:

$(x + 1)^2 = (x - 3)^2 + 120$

Для решения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 120$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 + 120$

Слагаемые $x^2$ в левой и правой частях уравнения взаимно уничтожаются. Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$2x + 6x = 9 + 120 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$8x = 128$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$x = \frac{128}{8}$

$x = 16$

Выполним проверку. Подставим $x = 16$ в исходное условие:

Квадрат двучлена $x + 1$: $(16 + 1)^2 = 17^2 = 289$.

Квадрат двучлена $x - 3$: $(16 - 3)^2 = 13^2 = 169$.

Разница между ними: $289 - 169 = 120$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 16$.

б)

Согласно условию, квадрат двучлена $2x + 10$ в 4 раза больше квадрата двучлена $x - 5$. Составим уравнение:

$(2x + 10)^2 = 4 \cdot (x - 5)^2$

Раскроем скобки, используя те же формулы сокращенного умножения:

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 10 + 10^2 = 4 \cdot (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2)$

$4x^2 + 40x + 100 = 4(x^2 - 10x + 25)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$4x^2 + 40x + 100 = 4x^2 - 40x + 100$

Слагаемые $4x^2$ и $100$ в левой и правой частях уравнения взаимно уничтожаются. Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть:

$40x + 40x = 0$

$80x = 0$

Отсюда находим $x$:

$x = 0$

Выполним проверку. Подставим $x = 0$ в исходное условие:

Квадрат двучлена $2x + 10$: $(2 \cdot 0 + 10)^2 = 10^2 = 100$.

Квадрат двучлена $x - 5$: $(0 - 5)^2 = (-5)^2 = 25$.

Проверим, больше ли первое значение в 4 раза, чем второе: $100 = 4 \cdot 25$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 0$.

829. Упростите выражение:

a) $(x + 3)^3 - (x - 3)^3;$

б) $(a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b).$

а) Для упрощения выражения $(x+3)^3 - (x-3)^3$ воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Сначала раскроем каждую скобку отдельно.

Для первого слагаемого, где $a=x$ и $b=3$:

$(x+3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$.

Для второго слагаемого, где $a=x$ и $b=3$:

$(x-3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) = $

$= x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 9x^2 - 27x + 27$

Приведем подобные члены:

$(x^3 - x^3) + (9x^2 + 9x^2) + (27x - 27x) + (27 + 27) = 18x^2 + 54$.

Ответ: $18x^2 + 54$.

б) Чтобы упростить выражение $(a - 2b)^3 + 6ab(a - 2b)$, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала раскроем куб разности $(a - 2b)^3$, используя формулу $(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$. В нашем случае $x=a$ и $y=2b$:

$(a - 2b)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot (2b) + 3 \cdot a \cdot (2b)^2 - (2b)^3 = a^3 - 6a^2b + 3a(4b^2) - 8b^3 = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3$.

Теперь раскроем вторую часть выражения:

$6ab(a - 2b) = 6ab \cdot a - 6ab \cdot 2b = 6a^2b - 12ab^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3) + (6a^2b - 12ab^2)$

Приведем подобные члены:

$a^3 + (-6a^2b + 6a^2b) + (12ab^2 - 12ab^2) - 8b^3 = a^3 + 0 + 0 - 8b^3 = a^3 - 8b^3$.

Ответ: $a^3 - 8b^3$.

832. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 1020 км, отправились одновременно навстречу друг другу два поезда, причём скорость одного была на 10 км/ч больше скорости другого. Через 5 ч поезда, ещё не встретившись, находились на расстоянии 170 км друг от друга. Найдите скорости поездов.

Пусть скорость одного поезда равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость второго поезда равна $(x + 10)$ км/ч.

Поезда движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сближения} = x + (x + 10) = 2x + 10$ км/ч.

Изначально расстояние между поездами составляло 1020 км. Через 5 часов расстояние между ними стало 170 км. Это значит, что за 5 часов они вместе преодолели расстояние:
$S = 1020 - 170 = 850$ км.

Расстояние, пройденное объектами при движении навстречу, равно произведению скорости сближения на время. Составим уравнение:
$S = v_{сближения} \cdot t$
$850 = (2x + 10) \cdot 5$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:
$850 = 10x + 50$
$10x = 850 - 50$
$10x = 800$
$x = \frac{800}{10}$
$x = 80$ км/ч.

Это скорость первого поезда. Теперь найдем скорость второго поезда:
$x + 10 = 80 + 10 = 90$ км/ч.

Таким образом, скорости поездов равны 80 км/ч и 90 км/ч.

Ответ: скорость одного поезда — 80 км/ч, скорость другого поезда — 90 км/ч.

827. Пользуясь формулой куба суммы, преобразуйте в многочлен выражение:

а) $(a + 2)^3$

б) $(2x + y)^3$

в) $(a + 3b)^3$

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу сокращенного умножения для куба суммы двух выражений:

$(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

а) Преобразуем выражение $(a + 2)^3$.

В этом случае в качестве первого слагаемого $A$ выступает $a$, а в качестве второго слагаемого $B$ — число $2$. Подставим эти значения в формулу:

$(a + 2)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 + 2^3$

Теперь упростим полученное выражение, выполнив все вычисления:

$a^3 + (3 \cdot 2)a^2 + (3 \cdot 4)a + 8$

$a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

Ответ: $a^3 + 6a^2 + 12a + 8$

б) Преобразуем выражение $(2x + y)^3$.

Здесь первое слагаемое $A = 2x$, а второе слагаемое $B = y$. Применим формулу куба суммы:

$(2x + y)^3 = (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot y + 3 \cdot (2x) \cdot y^2 + y^3$

Выполним возведение в степень и умножение, чтобы упростить выражение:

$2^3x^3 + 3 \cdot (4x^2) \cdot y + 6xy^2 + y^3$

$8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

Ответ: $8x^3 + 12x^2y + 6xy^2 + y^3$

в) Преобразуем выражение $(a + 3b)^3$.

В данном выражении первое слагаемое $A = a$, а второе $B = 3b$. Подставим их в формулу:

$(a + 3b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot (3b) + 3 \cdot a \cdot (3b)^2 + (3b)^3$

Упростим выражение, выполнив необходимые вычисления:

$a^3 + (3 \cdot 3)a^2b + 3a(9b^2) + 27b^3$

$a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$

Ответ: $a^3 + 9a^2b + 27ab^2 + 27b^3$

830. Запишите в виде выражения:

а) разность квадратов $2m$ и $7n$;

б) квадрат разности $x$ и $8y$;

в) утроенное произведение $6a$ и $b^2$;

г) произведение суммы $a$ и $b$ и их разности.

а) разность квадратов 2m и 7n;

Данное выражение описывает разность между квадратом выражения $2m$ и квадратом выражения $7n$.
Квадрат $2m$ равен $(2m)^2 = 2^2 \cdot m^2 = 4m^2$.
Квадрат $7n$ равен $(7n)^2 = 7^2 \cdot n^2 = 49n^2$.
Разность этих квадратов записывается как вычитание второго из первого.

Ответ: $4m^2 - 49n^2$

б) квадрат разности x и 8y;

Сначала находим разность $x$ и $8y$, что записывается как $x - 8y$.
Затем это выражение возводится в квадрат.

Ответ: $(x - 8y)^2$

в) утроенное произведение 6a и b²;

Произведение выражений $6a$ и $b^2$ равно $6a \cdot b^2 = 6ab^2$.
"Утроенное" означает, что результат нужно умножить на 3.
$3 \cdot (6ab^2) = 18ab^2$.

Ответ: $18ab^2$

г) произведение суммы a и b и их разности.

Сумма $a$ и $b$ записывается как $(a + b)$.
Их разность записывается как $(a - b)$.
Произведение этих двух выражений — это их умножение друг на друга. Это выражение является формулой разности квадратов.

Ответ: $(a + b)(a - b)$

828. Пользуясь формулой куба разности, преобразуйте в многочлен выражение:

a) $(b - 4)^3$

б) $(1 - 2c)^3$

в) $(2a - 3)^3$

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу сокращенного умножения для куба разности двух выражений:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Применим эту формулу к каждому из заданных выражений.

а) $(b - 4)^3$

В этом выражении $a = b$ и $b = 4$. Подставим эти значения в формулу:

$(b - 4)^3 = b^3 - 3 \cdot b^2 \cdot 4 + 3 \cdot b \cdot 4^2 - 4^3$

Теперь выполним вычисления:

$b^3 - 12b^2 + 3 \cdot b \cdot 16 - 64$

$b^3 - 12b^2 + 48b - 64$

Ответ: $b^3 - 12b^2 + 48b - 64$.

б) $(1 - 2c)^3$

Здесь $a = 1$ и $b = 2c$. Подставим в формулу куба разности:

$(1 - 2c)^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot (2c) + 3 \cdot 1 \cdot (2c)^2 - (2c)^3$

Упростим полученное выражение:

$1 - 3 \cdot 1 \cdot 2c + 3 \cdot 4c^2 - 8c^3$

$1 - 6c + 12c^2 - 8c^3$

Ответ: $1 - 6c + 12c^2 - 8c^3$.

в) $(2a - 3)^3$

В данном случае $a = 2a$ и $b = 3$. Применим формулу:

$(2a - 3)^3 = (2a)^3 - 3 \cdot (2a)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2a) \cdot 3^2 - 3^3$

Выполним необходимые вычисления и упрощения:

$8a^3 - 3 \cdot 4a^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2a \cdot 9 - 27$

$8a^3 - 36a^2 + 54a - 27$

Ответ: $8a^3 - 36a^2 + 54a - 27$.

831. Разложите на множители многочлен $a^3 + 2a + a^2 + 2$.

Для разложения многочлена $a^3 + 2a + a^2 + 2$ на множители используется метод группировки слагаемых.

1. Переставим члены многочлена для удобства группировки. Сгруппируем члены, содержащие куб и квадрат переменной, а также члены с первой степенью и свободный член:

$a^3 + a^2 + 2a + 2$

2. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(a^3 + a^2) + (2a + 2)$

3. Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе общим множителем является $a^2$, во второй — 2:

$a^2(a + 1) + 2(a + 1)$

4. Теперь мы видим, что оба получившихся слагаемых имеют общий множитель $(a + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(a + 1)(a^2 + 2)$

Множитель $(a^2 + 2)$ не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами, поскольку выражение $a^2$ всегда неотрицательно, а значит $a^2 + 2$ всегда больше нуля.

Ответ: $(a + 1)(a^2 + 2)$