Номер 826, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 826, страница 169.

Условие.

826. При каком значении $x$:

а) квадрат двучлена $x+1$ на 120 больше квадрата двучлена $x-3$;

б) квадрат двучлена $2x+10$ в 4 раза больше квадрата двучлена $x-5$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Согласно условию, квадрат двучлена $x + 1$ на 120 больше квадрата двучлена $x - 3$. Это можно записать в виде уравнения:

$(x + 1)^2 = (x - 3)^2 + 120$

Для решения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) + 120$

$x^2 + 2x + 1 = x^2 - 6x + 9 + 120$

Слагаемые $x^2$ в левой и правой частях уравнения взаимно уничтожаются. Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:

$2x + 6x = 9 + 120 - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$8x = 128$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 8:

$x = \frac{128}{8}$

$x = 16$

Выполним проверку. Подставим $x = 16$ в исходное условие:

Квадрат двучлена $x + 1$: $(16 + 1)^2 = 17^2 = 289$.

Квадрат двучлена $x - 3$: $(16 - 3)^2 = 13^2 = 169$.

Разница между ними: $289 - 169 = 120$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 16$.

б)

Согласно условию, квадрат двучлена $2x + 10$ в 4 раза больше квадрата двучлена $x - 5$. Составим уравнение:

$(2x + 10)^2 = 4 \cdot (x - 5)^2$

Раскроем скобки, используя те же формулы сокращенного умножения:

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 10 + 10^2 = 4 \cdot (x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2)$

$4x^2 + 40x + 100 = 4(x^2 - 10x + 25)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$4x^2 + 40x + 100 = 4x^2 - 40x + 100$

Слагаемые $4x^2$ и $100$ в левой и правой частях уравнения взаимно уничтожаются. Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть:

$40x + 40x = 0$

$80x = 0$

Отсюда находим $x$:

$x = 0$

Выполним проверку. Подставим $x = 0$ в исходное условие:

Квадрат двучлена $2x + 10$: $(2 \cdot 0 + 10)^2 = 10^2 = 100$.

Квадрат двучлена $x - 5$: $(0 - 5)^2 = (-5)^2 = 25$.

Проверим, больше ли первое значение в 4 раза, чем второе: $100 = 4 \cdot 25$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 0$.