Номер 833, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 833, страница 170.

Условие.

833. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

а) $x^2 + 2xy + y^2;$

б) $p^2 - 2pq + q^2;$

в) $a^2 + 12a + 36;$

г) $64 + 16b + b^2;$

д) $1 - 2z + z^2;$

е) $n^2 + 4n + 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить трёхчлен $x^2 + 2xy + y^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном выражении мы можем отождествить $a$ с $x$ и $b$ с $y$. Первый член $x^2$ является квадратом $x$, последний член $y^2$ — квадратом $y$, а средний член $2xy$ — их удвоенным произведением. Следовательно, данный трёхчлен является полным квадратом и равен $(x+y)^2$. Ответ: $(x+y)^2$

б) Трёхчлен $p^2 - 2pq + q^2$ соответствует формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В этом случае $a=p$ и $b=q$. Первый член $p^2$ — это квадрат $p$, последний член $q^2$ — это квадрат $q$, а средний член $-2pq$ — это их удвоенное произведение со знаком минус. Таким образом, выражение можно представить в виде квадрата $(p-q)$. Ответ: $(p-q)^2$

в) Рассмотрим трёхчлен $a^2 + 12a + 36$. Чтобы представить его в виде квадрата, ищем два члена, квадраты которых дадут $a^2$ и $36$. Это $a$ и $6$. Теперь проверяем, будет ли средний член равен их удвоенному произведению: $2 \cdot a \cdot 6 = 12a$. Так как это совпадает со средним членом исходного выражения, мы можем применить формулу квадрата суммы. Ответ: $(a+6)^2$

г) В выражении $64 + 16b + b^2$ мы видим квадраты двух чисел: $64 = 8^2$ и $b^2$. Проверим, является ли средний член $16b$ их удвоенным произведением: $2 \cdot 8 \cdot b = 16b$. Это верно. Значит, трёхчлен является квадратом суммы, составленной из $8$ и $b$. Ответ: $(8+b)^2$

д) В трёхчлене $1 - 2z + z^2$ первый член $1$ является квадратом $1$, а последний член $z^2$ — квадратом $z$. Средний член имеет знак минус, поэтому мы используем формулу квадрата разности. Проверяем удвоенное произведение: $2 \cdot 1 \cdot z = 2z$. Со знаком минус это даёт $-2z$, что совпадает со средним членом. Следовательно, это квадрат разности $(1-z)$. Ответ: $(1-z)^2$

е) Рассмотрим трёхчлен $n^2 + 4n + 4$. Первый член $n^2$ — это квадрат $n$, а последний член $4$ — это квадрат $2$. Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению $n$ и $2$. Вычисляем: $2 \cdot n \cdot 2 = 4n$. Это совпадает со средним членом исходного выражения, значит, мы можем применить формулу квадрата суммы. Ответ: $(n+2)^2$