Номер 837, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 837, страница 170.

Условие.

837. Впишите вместо знака * недостающие одночлены так, чтобы получилось тождество:

a) $ (* + 2a)^2 = * + 12ab + * $;

б) $ (3x + *)^2 = * + * + 49y^2 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а)

Дано тождество: $(* + 2a)^2 = * + 12ab + *$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В левой части нашего тождества второй член в скобках равен $2a$. Обозначим его как $y=2a$. Первый член, обозначенный звездочкой, примем за $x$. Тогда удвоенное произведение первого и второго членов, согласно формуле, будет равно $2xy = 2 \cdot x \cdot 2a = 4ax$.

В правой части тождества средний член (удвоенное произведение) нам известен, он равен $12ab$. Приравняем его к полученному нами выражению для удвоенного произведения, чтобы найти неизвестный член $x$:

$4ax = 12ab$

Разделив обе части уравнения на $4a$ (при условии, что $a \neq 0$), получим:

$x = \frac{12ab}{4a} = 3b$

Таким образом, первая звездочка в скобках соответствует одночлену $3b$.

Теперь мы можем полностью восстановить левую часть тождества: $(3b + 2a)^2$.

Чтобы найти недостающие члены в правой части, раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы:

$(3b + 2a)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot (3b) \cdot (2a) + (2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$.

Сравнивая полученный результат с правой частью исходного выражения $* + 12ab + *$, находим недостающие одночлены:

• Первая звездочка в правой части — это квадрат первого члена: $(3b)^2 = 9b^2$.
• Последняя звездочка в правой части — это квадрат второго члена: $(2a)^2 = 4a^2$.

Полное тождество выглядит следующим образом:

$(3b + 2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$.

Ответ: $(3b + 2a)^2 = 9b^2 + 12ab + 4a^2$.

б)

Дано тождество: $(3x + *)^2 = * + * + 49y^2$.

Здесь мы также применяем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В левой части нашего тождества известен первый член в скобках, $a = 3x$. Второй член, обозначенный звездочкой, нам неизвестен, примем его за $b$.

В правой части тождества известен последний член, который, согласно формуле, является квадратом второго члена из скобок, то есть $b^2$.

Следовательно, $b^2 = 49y^2$.

Чтобы найти одночлен $b$, извлечем квадратный корень из $49y^2$:

$b = \sqrt{49y^2} = 7y$

Итак, недостающий член в скобках — это $7y$. Левая часть тождества теперь имеет вид: $(3x + 7y)^2$.

Теперь раскроем скобки, чтобы определить недостающие одночлены в правой части:

$(3x + 7y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (7y) + (7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$.

Сравнивая полученное выражение с правой частью исходного тождества $* + * + 49y^2$, находим недостающие одночлены:

• Первая звездочка в правой части — это квадрат первого члена: $(3x)^2 = 9x^2$.
• Вторая звездочка в правой части — это удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 3x \cdot 7y = 42xy$.

Полное тождество выглядит следующим образом:

$(3x + 7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$.

Ответ: $(3x + 7y)^2 = 9x^2 + 42xy + 49y^2$.