Номер 841, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 841, страница 171.

Условие.

841. Верно ли, что при любых значениях $x$:

a) $x^2 + 10 > 0;$

б) $x^2 + 20x + 100 > 0?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы определить, верно ли неравенство $x^2 + 10 > 0$ для любых значений $x$, проанализируем его левую часть.
Выражение $x^2$ представляет собой квадрат действительного числа. По определению, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.
Наименьшее значение, которое может принимать $x^2$, равно 0 (это происходит при $x=0$).
Теперь рассмотрим все выражение $x^2 + 10$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то прибавляя 10 к обеим частям этого неравенства, получаем: $x^2 + 10 \ge 0 + 10$ $x^2 + 10 \ge 10$
Так как 10 строго больше 0, то и выражение $x^2 + 10$ всегда будет строго больше 0. Таким образом, неравенство $x^2 + 10 > 0$ выполняется при любых значениях $x$.
Ответ: да, верно.

б) Рассмотрим неравенство $x^2 + 20x + 100 > 0$.
Выражение в левой части является трехчленом. Можно заметить, что это полный квадрат, который можно свернуть по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=10$, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$.
Следовательно, исходное неравенство можно переписать в виде: $(x+10)^2 > 0$
Квадрат любого выражения $(x+10)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x+10)^2 \ge 0$.
Однако, в задаче стоит знак строгого неравенства ($>$). Это означает, что левая часть не может быть равна нулю. Найдем значение $x$, при котором выражение $(x+10)^2$ равно нулю: $(x+10)^2 = 0$ $x+10 = 0$ $x = -10$
При $x=-10$ левая часть исходного неравенства обращается в ноль: $(-10)^2 + 20(-10) + 100 = 100 - 200 + 100 = 0$. Неравенство $0 > 0$ является ложным.
Поскольку мы нашли хотя бы одно значение $x$, при котором неравенство не выполняется, утверждение о том, что оно верно при любых значениях $x$, является ложным.
Ответ: нет, неверно.