Номер 848, страница 171 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 848, страница 171.

Условие.

848. Докажите, что выражение принимает лишь положительные значения:

а) $x^2 + 2x + 2;$

б) $4y^2 - 4y + 6;$

в) $a^2 + b^2 - 2ab + 1;$

г) $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что выражение $x^2 + 2x + 2$ принимает лишь положительные значения, выделим в нем полный квадрат. Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Представим выражение в следующем виде:
$x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 2 = (x+1)^2 - 1 + 2 = (x+1)^2 + 1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(x+1)^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет всегда больше или равен 1.
$(x+1)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то и выражение $(x+1)^2 + 1$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Выражение $x^2 + 2x + 2$ можно представить в виде $(x+1)^2 + 1$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для любых $x$, то $(x+1)^2 + 1 \ge 1$, что является положительным значением.

б) Чтобы доказать, что выражение $4y^2 - 4y + 6$ принимает лишь положительные значения, выделим в нем полный квадрат. Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим выражение в следующем виде:
$4y^2 - 4y + 6 = (2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 1 + 6$.
Для полного квадрата не хватает $1^2$. Добавим и вычтем его:
$((2y)^2 - 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 6 = (2y-1)^2 - 1 + 6 = (2y-1)^2 + 5$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(2y-1)^2 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить 5, результат будет всегда больше или равен 5.
$(2y-1)^2 + 5 \ge 0 + 5 = 5$.
Так как $5 > 0$, то и выражение $(2y-1)^2 + 5$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Выражение $4y^2 - 4y + 6$ можно представить в виде $(2y-1)^2 + 5$. Так как $(2y-1)^2 \ge 0$ для любых $y$, то $(2y-1)^2 + 5 \ge 5$, что является положительным значением.

в) Чтобы доказать, что выражение $a^2 + b^2 - 2ab + 1$ принимает лишь положительные значения, сгруппируем слагаемые.

$a^2 + b^2 - 2ab + 1 = (a^2 - 2ab + b^2) + 1$.
Выражение в скобках является полным квадратом разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $(a-b)^2 + 1$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(a-b)^2 \ge 0$ для любых значений $a$ и $b$.
Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет всегда больше или равен 1.
$(a-b)^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.
Так как $1 > 0$, то и выражение $(a-b)^2 + 1$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Выражение $a^2 + b^2 - 2ab + 1$ можно представить в виде $(a-b)^2 + 1$. Так как $(a-b)^2 \ge 0$ для любых $a$ и $b$, то $(a-b)^2 + 1 \ge 1$, что является положительным значением.

г) Чтобы доказать, что выражение $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$ принимает лишь положительные значения, сгруппируем слагаемые и выделим полный квадрат.

Перепишем выражение в более удобном порядке: $9x^2 - 6xy + 4y^2 + 4$.
Попытаемся выделить полный квадрат, используя слагаемые с переменными: $9x^2 - 6xy$.
$9x^2 - 6xy + 4y^2 + 4 = ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2) - y^2 + 4y^2 + 4$.
Мы добавили и вычли $y^2$, чтобы получить формулу квадрата разности.
$(3x - y)^2 - y^2 + 4y^2 + 4 = (3x - y)^2 + 3y^2 + 4$.

Теперь проанализируем полученное выражение:
1. $(3x - y)^2$ — это квадрат числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(3x-y)^2 \ge 0$.
2. $y^2$ — это квадрат числа, его значение неотрицательно: $y^2 \ge 0$. Следовательно, $3y^2 \ge 0$.
3. Сумма двух неотрицательных чисел $(3x-y)^2 + 3y^2$ также неотрицательна.
4. Если к неотрицательной сумме прибавить 4, результат будет больше или равен 4: $(3x-y)^2 + 3y^2 + 4 \ge 0 + 0 + 4 = 4$.
Так как $4 > 0$, то и выражение $(3x - y)^2 + 3y^2 + 4$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Выражение $9x^2 + 4 - 6xy + 4y^2$ можно представить в виде $(3x - y)^2 + 3y^2 + 4$. Так как $(3x-y)^2 \ge 0$ и $3y^2 \ge 0$ для любых $x$ и $y$, то их сумма неотрицательна, а все выражение не меньше 4, то есть всегда положительно.