Номер 1, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 1, страница 172.

Условие.

1 Напишите формулу квадрата суммы. Проведите доказательство.

Решение 1.

Решение 5.

Напишите формулу квадрата суммы.

Формула квадрата суммы двух выражений $a$ и $b$ читается так: квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.
Математически это записывается следующим образом:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Проведите доказательство.

Доказать данную формулу (тождество) можно двумя основными способами: алгебраическим и геометрическим.

Алгебраическое доказательство

По определению, квадрат выражения — это произведение этого выражения на само себя. Применим это определение к $(a + b)^2$:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

Теперь раскроем скобки, используя распределительный закон умножения (умножим каждый член первой скобки на каждый член второй):
$(a + b)(a + b) = a \cdot (a + b) + b \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ba + b^2$

Так как от перестановки мест множителей произведение не меняется (коммутативный закон умножения), то $ab = ba$. Приведем подобные слагаемые:
$a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Таким образом, мы доказали тождество: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Геометрическое доказательство

Рассмотрим квадрат со стороной, равной $(a + b)$. Его площадь $S$ равна квадрату длины его стороны, то есть $S = (a + b)^2$.
Представим этот квадрат разделенным на четыре части, как показано на рисунке:

• Один квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$.
• Один квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$.
• Два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$, и площадью $ab$ у каждого.

Площадь всего квадрата $S$ также можно найти, сложив площади его составных частей:
$S = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Приравнивая два выражения для площади, мы приходим к искомому тождеству:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Это завершает геометрическое доказательство.

Ответ: Доказательство проведено выше алгебраическим и геометрическим методами. Оба метода показывают, что равенство $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ является верным.