Номер 2, страница 172 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 12. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 2, страница 172.

Условие.

2. Напишите формулу квадрата разности. Проведите доказательство.

Решение 1.

Решение 5.

Формула квадрата разности

Словесная формулировка: квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

В виде формулы для двух любых выражений $a$ и $b$ это записывается следующим образом:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Доказательство

Доказательство данной формулы, также известной как тождество, проводится путем алгебраических преобразований левой части равенства до тех пор, пока она не станет идентичной правой части.

1. Согласно определению степени, квадрат выражения — это результат умножения этого выражения на само себя:

$(a - b)^2 = (a - b)(a - b)$

2. Далее необходимо раскрыть скобки, используя правило умножения многочлена на многочлен (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):

$(a - b)(a - b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b)$

3. Выполним операции умножения в каждом слагаемом:

$a^2 - ab - ba + b^2$

4. В алгебре действует коммутативный (переместительный) закон умножения, согласно которому $ab = ba$. Это позволяет нам привести подобные слагаемые $-ab$ и $-ba$:

$a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

5. В результате преобразований мы пришли к выражению, стоящему в правой части исходной формулы. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Доказательство основано на раскрытии скобок в выражении $(a - b)(a - b)$ по правилу умножения многочленов: $(a - b)^2 = (a - b)(a - b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.