Номер 856, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 856, страница 173.

Условие.

856. С помощью рисунка 72 разъясните геометрический смысл формулы $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ для положительных $a$ и $b$, удовлетворяющих условию $a > b$.

Рис. 72

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Геометрический смысл формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для положительных $a$ и $b$ при условии $a > b$ можно разъяснить с помощью представленного рисунка, рассматривая площади составных частей фигуры.

Разобьем всю фигуру, изображенную на рисунке 72, на четыре прямоугольника, как показано внутренними линиями, и определим их размеры и площади:

• Верхний левый прямоугольник: его ширина равна $a$, а высота, согласно чертежу, равна разности общей высоты $a$ и высоты нижней части $b$, то есть $a-b$. Его площадь равна $S_1 = a(a-b)$.
• Верхний правый прямоугольник: его ширина равна $b$, а высота — $a-b$. Его площадь равна $S_2 = b(a-b)$.
• Нижний левый прямоугольник: его ширина равна $a$, а высота — $b$. Его площадь равна $S_3 = ab$.
• Нижний правый прямоугольник (квадрат): его ширина равна $b$, и высота равна $b$. Его площадь равна $S_4 = b^2$.

Теперь сопоставим части формулы с площадями на рисунке.

1. Левая часть формулы: $(a-b)(a+b)$

Эта часть представляет собой площадь прямоугольника со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$. На рисунке такой прямоугольник образуется слиянием двух верхних прямоугольников (первого и второго).

Высота этого большого прямоугольника равна $a-b$.

Ширина этого большого прямоугольника равна сумме ширин его частей: $a+b$.

Таким образом, его площадь равна $S_{верх} = (a+b)(a-b)$.

Также эту площадь можно посчитать как сумму площадей ее составляющих: $S_{верх} = S_1 + S_2 = a(a-b) + b(a-b)$.

2. Правая часть формулы: $a^2 - b^2$

Эта часть представляет собой разность площадей двух квадратов: одного со стороной $a$ и другого со стороной $b$.

На рисунке квадрат со стороной $a$ и площадью $a^2$ можно составить из двух левых прямоугольников (первого и третьего). Его высота равна $(a-b)+b=a$, и ширина равна $a$. Площадь этого квадрата равна $S_{левый квадрат} = S_1 + S_3 = a(a-b) + ab = a^2-ab+ab = a^2$.

Квадрат со стороной $b$ и площадью $b^2$ — это нижний правый прямоугольник (четвертый). Его площадь $S_4 = b^2$.

Следовательно, выражение $a^2 - b^2$ геометрически представляет собой площадь левого квадрата ($S_1 + S_3$) за вычетом площади нижнего правого квадрата ($S_4$).

3. Доказательство равенства

Нам нужно доказать, что площадь верхнего большого прямоугольника равна площади левого квадрата минус площадь правого нижнего квадрата.

Площадь верхнего прямоугольника: $S_{верх} = S_1 + S_2$.

Разность площадей квадратов: $S_{левый квадрат} - S_{правый нижний квадрат} = (S_1 + S_3) - S_4$.

Приравняем эти выражения: $S_1 + S_2 = (S_1 + S_3) - S_4$.

Сократим с обеих сторон общую площадь $S_1$: $S_2 = S_3 - S_4$.

Теперь подставим значения площадей, которые мы нашли ранее:

$S_2 = b(a-b) = ab - b^2$.

$S_3 - S_4 = ab - b^2$.

Мы получили тождество: $ab - b^2 = ab - b^2$.

Таким образом, мы геометрически показали, что площадь прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$ равна площади квадрата со стороной $a$ минус площадь квадрата со стороной $b$.

Ответ: Рисунок 72 иллюстрирует тождество $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ путем демонстрации равенства площадей. Площадь большого верхнего прямоугольника со сторонами $(a+b)$ и $(a-b)$ равна сумме площадей составляющих его прямоугольников $S_1$ и $S_2$. Площадь $a^2-b^2$ представляет собой разность площади большого левого квадрата (составленного из $S_1$ и $S_3$) и площади малого правого нижнего квадрата ($S_4$). Равенство площадей $(S_1 + S_2) = (S_1 + S_3) - S_4$ доказывается через равенство $S_2 = S_3 - S_4$, что является верным, так как $b(a-b) = ab - b^2$.