Номер 859, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Параграф 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов. Глава 5. Формулы сокращённого умножения - номер 859, страница 174.

Условие.

859. Представьте в виде многочлена:

а) $(3x^2 - 1)(3x^2 + 1)$;

б) $(5a - b^3)(b^3 + 5a)$;

в) $(\frac{3}{7}m^3 + \frac{1}{4}n^3)(\frac{3}{7}m^3 - \frac{1}{4}n^3)$;

г) $(\frac{1}{15} - \frac{1}{8}p^6)(\frac{1}{8}p^6 + \frac{1}{15})$;

д) $(0.4y^3 + 5a^2)(5a^2 - 0.4y^3)$;

е) $(1.2c^2 - 7a^2)(1.2c^2 + 7a^2)$;

ж) $(\frac{5}{8}x + y^5)(y^5 - \frac{5}{8}x)$;

з) $(\frac{1}{7}p^5 - 0.01)(0.01 + \frac{1}{7}p^5)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы представить выражение $(3x^2 - 1)(3x^2 + 1)$ в виде многочлена, используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном примере $a = 3x^2$, а $b = 1$.
Применяем формулу:
$(3x^2 - 1)(3x^2 + 1) = (3x^2)^2 - 1^2 = 3^2 \cdot (x^2)^2 - 1 = 9x^4 - 1$.
Ответ: $9x^4 - 1$.

б) В выражении $(5a - b^3)(b^3 + 5a)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы оно соответствовало формуле разности квадратов: $(5a - b^3)(5a + b^3)$. Здесь $a = 5a$, а $b = b^3$.
Применяем формулу:
$(5a - b^3)(5a + b^3) = (5a)^2 - (b^3)^2 = 25a^2 - b^6$.
Ответ: $25a^2 - b^6$.

в) Выражение $(\frac{3}{7}m^3 + \frac{1}{4}n^3)(\frac{3}{7}m^3 - \frac{1}{4}n^3)$ уже представлено в виде $(a + b)(a - b)$. Здесь $a = \frac{3}{7}m^3$, а $b = \frac{1}{4}n^3$.
Применяем формулу разности квадратов $a^2 - b^2$:
$(\frac{3}{7}m^3)^2 - (\frac{1}{4}n^3)^2 = \frac{3^2}{7^2}(m^3)^2 - \frac{1^2}{4^2}(n^3)^2 = \frac{9}{49}m^6 - \frac{1}{16}n^6$.
Ответ: $\frac{9}{49}m^6 - \frac{1}{16}n^6$.

г) Переставим слагаемые во второй скобке в выражении $(\frac{1}{15} - \frac{1}{8}p^6)(\frac{1}{8}p^6 + \frac{1}{15})$, чтобы получить вид $(a-b)(a+b)$: $(\frac{1}{15} - \frac{1}{8}p^6)(\frac{1}{15} + \frac{1}{8}p^6)$. Здесь $a = \frac{1}{15}$, а $b = \frac{1}{8}p^6$.
Применяем формулу:
$(\frac{1}{15})^2 - (\frac{1}{8}p^6)^2 = \frac{1}{225} - \frac{1^2}{8^2}(p^6)^2 = \frac{1}{225} - \frac{1}{64}p^{12}$.
Ответ: $\frac{1}{225} - \frac{1}{64}p^{12}$.

д) Для удобства применения формулы разности квадратов переставим слагаемые в первой скобке выражения $(0,4y^3 + 5a^2)(5a^2 - 0,4y^3)$: $(5a^2 + 0,4y^3)(5a^2 - 0,4y^3)$. Здесь $a = 5a^2$, а $b = 0,4y^3$.
Применяем формулу:
$(5a^2)^2 - (0,4y^3)^2 = 25(a^2)^2 - 0,16(y^3)^2 = 25a^4 - 0,16y^6$.
Ответ: $25a^4 - 0,16y^6$.

е) Выражение $(1,2c^2 - 7a^2)(1,2c^2 + 7a^2)$ является произведением разности и суммы. Используем формулу разности квадратов, где $a = 1,2c^2$ и $b = 7a^2$.
Применяем формулу:
$(1,2c^2)^2 - (7a^2)^2 = 1,44(c^2)^2 - 49(a^2)^2 = 1,44c^4 - 49a^4$.
Ответ: $1,44c^4 - 49a^4$.

ж) Преобразуем выражение $(\frac{5}{8}x + y^5)(y^5 - \frac{5}{8}x)$, поменяв слагаемые в первой скобке местами: $(y^5 + \frac{5}{8}x)(y^5 - \frac{5}{8}x)$. Теперь оно соответствует виду $(a+b)(a-b)$, где $a = y^5$ и $b = \frac{5}{8}x$.
Применяем формулу:
$(y^5)^2 - (\frac{5}{8}x)^2 = y^{10} - \frac{5^2}{8^2}x^2 = y^{10} - \frac{25}{64}x^2$.
Ответ: $y^{10} - \frac{25}{64}x^2$.

з) В выражении $(\frac{1}{7}p^5 - 0,01)(0,01 + \frac{1}{7}p^5)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(\frac{1}{7}p^5 - 0,01)(\frac{1}{7}p^5 + 0,01)$. Используем формулу разности квадратов, где $a = \frac{1}{7}p^5$ и $b = 0,01$.
Применяем формулу:
$(\frac{1}{7}p^5)^2 - (0,01)^2 = \frac{1}{49}(p^5)^2 - 0,0001 = \frac{1}{49}p^{10} - 0,0001$.
Ответ: $\frac{1}{49}p^{10} - 0,0001$.